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2022年全国高考几类数学卷的解析几何大题，普遍计算量大，在限定时间很难算得正确结果。

本文介绍椭圆及双曲线的顶投影参数化，并用来快捷地解决2022年高考数学北京卷的第19题。

(一)椭圆的顶投影参数化

任意取定椭圆上一点过的切线记为过椭圆的中心且平行于的直线记为.

设直线过点且不同于切线则与该椭圆相交于另一点也与相交于一点

不难验证，椭圆的除了外的点与直线上的点一一对应。因此可以用点的坐标来表示点的坐标。

如果为椭圆的顶点，则直线是椭圆的另一对称轴。这时，我们把用的坐标来表示的坐标的方法称为顶投影参数化。

命题(椭圆的顶投影参数化)给定椭圆或圆

(其半轴长分别为). 设连结顶点与轴上的点的直线与该椭圆的另一交点为. 则有

证明：设,利用在椭圆上，容易解得

由此立即得到命题的结论。

练习：对于椭圆的其他顶点，写出相应的顶投影参数化公式。

(二)双曲线的顶投影

双曲线也有顶投影参数化。

命题(双曲线的极投影参数化)给定双曲线 (其中)

设连结顶点与轴上的点的直线与该双曲线的另一交点为. 则有

证明与椭圆的情形类似(留作练习)。

练习：对于双曲线的另一顶点，写出相应的顶投影参数化公式。

(三)应用：解一道高考数学解析几何题

2022年高考数学北京卷的第19题是解析几何大题。原题如下：

19.已知椭圆

的一个顶点为焦距为

(I)求椭圆的方程；

(II)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点直线分别与轴交于点当时，求的值

解：经过简单计算，容易得出椭圆的方程为

现在解 (II).

设在轴上，点位于点左侧。则且利用椭圆的顶投影参数化，得到的坐标如下：

因为点共线，斜率化简得到

解得. 从而有

故所求直线的斜率为

可以看到，利用椭圆的顶投影参数化，解题过程清晰，每一步的目标明确，计算也相对简单。

(四)结束语

这里所说的椭圆及双曲线的顶投影参数化，在高等几何里通常称为极投影，是研究球面几何与双曲几何的非常有力的方法。

希望本文介绍的顶投影参数化方法对于准备高考复习的同学们有帮助。

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