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用余弦定理，再结合均值不等式求三角形的面积即可．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得：，因为为三角形内角，所以，所以，可得：，即，因为，可得，可得，所以．（2）因为，即，所以，解得，当且仅当时，取等号，所以，周长的最小值为6，此时，的面积．【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．19．（12分）（2022?湖北模拟）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，四边形为矩形．（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由．若存在，确定点的位置并加以证明．【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；数学运算【分析】（1）根据勾股定理可得，由矩形的性质可得，进而可证平面，再根据面面垂直的判定得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点的坐标，表示出平面的一个法向量及平面的一个法向量，根据向量的夹角公式可建立关于的方程，解出即可．【解答】解：（1）证明：由平面几何的知识得又，在中，满足，为直角三角形，且．四边形为矩形，．由，平面，平面，所以平面．又平面，平面平面；（2）存在点，使得二面角的余弦值为，点为线段上靠近的四等分点．事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，2，0设，由，即，2得．设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，则．平面的一个法向量为．设二面角的平面角大小为，．解得或（舍去）所以当点为线段上靠近的四等分点时，二面角的余弦值为．【点评】本题考查线线，线面，面面间垂直关系的判定与性质，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．20．（12分）（2022?湖北模拟）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明以的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【