2022年新高考1卷22题解题逻辑

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放缩取点
导数专题中的找点主要有两种方式：
方式①：猜根；方式②：放缩取点
当目标式结构复杂猜根不易时，通常需要“放缩取点”.
以 $f(x)=ae^{ax}-elnx-e(0<a<1)$ 为例，下面在区间 $(\frac{1}{a^2},+\infty)$ 上找一 $x_0$ 使得 $f(x_0)>0$
step.1.选择放缩目标
目标选择原则：“慢，弱+好算”协同；思考Why？
此处 $x\rightarrow+\infty$ 时， $f(x)$ 中 $-elnx-e$ 为慢为弱，于是选其为放缩目标；
step.2.选择放缩方式正式放缩
$f(x)=ae^{ax}-e(lnx+1)>ae^{ax}-ex$ ①
不等式①仍不好解，于是对①式继续放缩：
$ae^{ax}-ex>a(ax)^2-ex=a^3x^2-ex\ge0$
解得 $x\ge\frac{e}{a^3}$ ,于是不妨取 $x_0=\frac{e}{a^3}$ ；
step.3.检验
经验证 $x_0=\frac{e}{a^3}>\frac{1}{a^2}$ ，即所取点在目标区间内，取点成功.
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导数·百题逻辑NO.24/100（2022.新高考1卷.22题）

/逻辑数学教研 /

作者 | 济南徐伟（交流：mathxw）

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来源｜逻辑数学教研

编辑｜《好老师在线数学》

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