这是一道今年湖北黄冈的中考压轴大题，涉及知识点较多。

【提醒】

本号在持续分析初中数学、物理的基础上，自暑期开始也会逐渐增加高中数学、物理的解题分享，敬请。

【求解】

（1）将点B、点C代入抛物线方程，易求b=3/2， c=2

抛物线方程为: y= -x2/2 + 3x/2 + 2

点A坐标为(-1,0)，

在Rt△CBO中，tan∠ABC=OC/OB = 1/2

（2）

如图一，在Rt△AOC和Rt△BOC中，

OA=1，OC=2

OB=4，显然有OA/OC=OC/OB，∠AOC=∠BOC=90°，

所以Rt△AOC∽Rt△BOC，（对应角相等，角的两边对应成比例，故俩三角形相似）

所以有 ∠ACO=∠OBC

如上图，在Rt△OBC中，

取斜边BC中点G，利用中点坐标公式 ，可求得G点坐标为(2,1),

则OG=GB=BC/2， 故△OGB为等腰三角形，其外角∠OGC=2∠OBC=2∠ACO

又已知∠PCB=2∠ACO

所以∠OGC=∠PCB，故CP∥OG（内错角相等，两直线平行）

显然直线CP的k值（斜率)等于直线OG的斜率，且直线CP过定点C，

易求直线CP方程为：y=x/2 + 2

与抛物线方程联立，可求得P点坐标为(2,3) 或(0,2)（显然与C点重合，且不在第一象限，舍掉）

（3）- ①

依题意，∠QBD=90°，QE=DF

如上图，过点D做DM⊥DQ，令DM=QB，连接MF，

在△DMF和△QBE中，

∠MDF+∠QDB=90°=∠QDB+∠DQB

所以∠MDF=∠DQB

DM=QB（自己设定）

QE=DF（已知条件）

故△DMF≌△QBE

则MF=BE

故m=BE+QF=QF+FM

如上图，点Q和点M都是定点，连接QG，

显然m=QG（两点之间，线段最短）

下面求一下m(即QG的长度）:

a. 先求直线BD的方程：OB=OD，故直线BD方程为y=x-4

b. 求直线BQ的方程：BQ的k值（斜率）=-1，且过点B(4,0)

故直线BQ的方程为：y=-x+4

c. 将直线BQ方程与抛物线方程联立，可求得点Q坐标为(1,0)或（4,0）(与点B重合，舍掉)

d. 在Rt△DGQ中，

由两点间距离公式，可求得DQ=5√2

再由两点间距离公式，可求得DG=BQ=3√2

由勾股定理，可求得m=QG= 2√17

（3）- ②

做PN∥y轴，交BC于点N，

则S△PCB= S△PCN + S△PBN

先求直线BC的方程：过点B(4,0)，点C(0,2)，

直接求出其方程：y=-x/2 + 2

设点P的坐标为(t,-t2/2 + 3t/2 + 2)，已知点P是第一象限抛物线上的点，故有 0<t<4

则点N的坐标为(t,-t/2+2)

线段PN = -t2/2 + 3t/2 + 2 - (-t/2+2) = -t2/2 + 2t

注意到△PCN和△PBN有共同的底边PN，其高线之和等于点B的横坐标

S△PCB= S△PCN + S△PBN = PN*OB/2= (-t2/2 + 2t)*4/2 = -t2 + 4t

又已知S=m2/4 - k

将m= 2√17 代入，整理后，

可得 k = t2-4t+17 = (t-2)2 + 13 ， 0<t<4

所以13≤k<17

【小结】

这道题综合性较强，并且每一问之间还有强联系，可谓步步为营，可叹出题人真是用心良苦。

涉及的知识点有抛物线方程、直线方程、重点坐标公式、两点间距离公式、两直线平行斜率相等、面积分割、二次函数最值问题