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#高中数学

在解无理函数的值域问题时，如果采用的是“判别式法”，但由于无理函数的定义域一般不为R，所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围，使用“判别式法”失效。下面对常见的无理函数类型及解法作一归纳，使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”，尽快求出正确答案。

一、形如“”的函数

例1.求函数的值域。

解：令，则且，则

。当，即时，，当时，。故函数值域为。

说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。

二、形如

“”的函数

例2.求函数的值域。

解：由。令且[]，则。

由，得。

当时，；

当时，。

故函数值域为。

说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为

且，即可化为＋k型函数。至于且及其他类型，同学们可自己分析一下。

三、形如“”的函数

例3.求函数的值域。

解：由，得。

令且，

则。

由，得，

则，故函数的值域为。

说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数，无理函数类型有多种，有兴趣的可以探讨一下。

试题解析

（2018贵州竞赛）

评注以上几种方法是处理这类无理函数值域的常用方法.如果调整相关系数或结构，也有其它相关解法.

评注除了上述五种常规方法外，由于本题平方后能消去x²项，很容易得到x关于y的表达式.利用y>=x建立关于y的不等式，解不等式即可.

点评本解法以导数为工具将无理函数f(x)的值域问题转化为有理函数g(x)的值域问题求解，这样在用导数时可以减少运算量。另外，本解法用到了分类讨论思想和极限思想。

解法2（换元后用二次函数求解）

解法4（用不等式放缩求解）

图中直线x=1,y= 1和y=-1是函数的三条渐近线。

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