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用，属于基础题．14．（5分）（2022?泉州模拟）写出一个满足为偶函数，且在单调递增的函数　　．【考点】奇偶性与单调化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）由数列满足，可得时相除可得：化为：，时解得．利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由题意可得：其项数为，解得．时，到项的项数为：，其后面还有9项，都为13，进而得出的前100项和．【解答】解：（1）数列满足，时相除可得：，化为：，时解得．数列是等差数列，公差为1，首项为2．．（2）在和中插入个相同的数，构成一个新数列，1，3，3，3其项数为，解得．时，到项的项数为：，其后面还有9项，为13，13，13，13，13，13，13，13，13．即2，1，3，4，3，3，3，514，13，13，13，13，13，13，13，13，13．的前100项和．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2022?泉州模拟）如图，多面体中，为的中点，四边形为矩形．（1）证明：；（2）若当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角；数学运算【分析】（1）由矩形特征和等腰三角形三线合一性质，结合线面垂直判定可证得平面，结合和线面垂直性质可得，进而可得平面，由线面垂直性质可证得结论；（2）根据，可知当时，三棱锥的体积最大，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果．【解答】证明：（1）四边形为矩形又，为中点，，，平面平面，，平面，又平面，，，平面，平面，又平面，．解：（2），由（1）知：平面， 当且仅当时取等号），即时，三棱锥的体积最大，又为中点则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，由（1）知：平面，平面的一个法向量为，设平面的法向量，则，令，解得：，，，由图形可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为．【点评】本题考查了空间中垂直关系的证明以及二面角的求解问题，属于中档题．21．（12分）（2022?泉州模拟）已知点为圆上的动点，延长至，使得，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）过的直线与交于，两点，纵坐标不为0的点在直线上，线段分别与线段，交于，两点，且，证明：．【考点】轨迹方程【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得，可知点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知当斜率