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微课视频讲
两角的差的余弦公式
知识点

一、教材分析
教材截图
（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）


教材分析：  
 （1）探究两角差的余弦公式
  两角差的余弦公式的证明方法非常多。不同的教科书在编写过程中。因为整体立意的不同，所以选用的方法也不尽相同，选择的依据有两个：
一是努力使公式的证明过程简明易懂，易于学生接受：
二是公式推导的依据要突出教科书编写的整体立意。本节力图体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系，所以选择了利用旋转对称性证明两角差的余弦公式。
   教科书首先设置了一个“探究”，引导学生进行自主的思维活动。不失一般性，先研究角α与β的终边不重合时的情况，即α≠2kπ+β，k∈Z的情况。
第一步，标注出“探究”中涉及到的量，即角α，β，α-β的终边与单位圆的交点P1，A1，P，并设单位圆与x轴正半轴交于点A.
第二步，利用三角函数的定义，写出各点的坐标。
第三步，利用圆的旋转对称性，得到等量关系AP=A1P1.
第四步，代入化简，得到两角差的余弦表达式。
  代入化简时需用到两点间的距离公式，在右边边空中已给出。在教学时可以利用勾股定理进行简单的推导.
 当角a与β的终边重合时，即α=2kπ+β，k∈Z，可得 cos2α+sin2α=1（或cos2β+sin2β=1），即两角差的余弦表达式仍然成立，从而得到任意两角差的余弦表达式—两角差的余弦公式。这种证明的好处是不需要利用图形本身的直观性质，即证明的过程不受图形大小、位置变化的限制，因此证明具有一般性，教科书中图5.5-1起着直观化的作用，但证明的过程利用的不是角α与β终边的特殊位置.
  在教学中可以从以下两方面引导学生理解这种证明过程的一般性：
其一.改变角α与β终边的位置，让学生看到证明第二步中各点的坐标不会因此改变；
其二，根据圆的旋转对称性，无论角α与β终边的位置如何，总有AP=A1P1.成立。
  和角、差角、倍角的三角函数之间存在紧密的内在联系，因此不必弧立地去一一推导这些公式，只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式。另外，对于众多公式的推导顺序，也可以有多种安排。本节的具体过程如下：
→→→→，， 


（2）两角差的余弦公式的初步应用
  此处安排了例1和例2.例1既是两角差的余弦公式的应用。也说明了诱导公式与两角差公式之间的特殊与一般的关系：
 
 由上面的关系可以发现，6个诱导公式都可以看成是公式中当α或β取特殊值时的情况，即诱导公式反映的是圆的特殊对称。
  比如公式一，反映的是单位阳上的任意一个点。旋转2kπ(k∈Z)，仍然回到原来的位置；
 公式二反映的是单位圆上的任意一个点关于原点的对称点（或旋转π）仍然在单位圆上；等等，两角差的余弦公式是其一般化的表达：单位圆上任意一个点，旋转任意一个位置后仍然在单位圆上，即反映了圆的旋转对称性。后续两角和与差的正弦、余弦、正切公式与诱导公式之间也有对应的关系。

  例1，例2一方面通过简单的应用，使学生初步熟记公式，掌握公式的结构形式及其功能；另一方面是要训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养。因此在教学时要培养程序化的思维习惯：
第一步，确定解题依据的是哪个公式（这里用到的是两角差的余弦公式）；
第二步，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；
第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题。
  本文大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。
一、本单元教科书编写意图及教学建议
本节内容可分为两部分，第一部分是两角和与差的正弦、余弦和正切公式：第二部分是简单的三角恒等变换.第一部分依然是基于圆的对称性进行研究，与5.3节相比较，5.3节中用到的是圆的特殊的对称性，此处用到的是圆的更一般的对称性，即旋转对称性。这种特殊与一般的关系，蕴含着诱导公式与两角和（差）公式之间的特殊与一般的关系。本部分一共11个公式。这11个公式的推导是发展学生逻辑推理素养的载体。第二部分则从两个角度进行简单的三角恒等变换，在这个过程中要注重发展学生的数学运算素养。
在5.3节中.利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值和证明的目的。本部分与之衔接，一方而要推导获得新的公式，另一方面要利用获得的公式进行恒等变形，习惯上称之为三角恒等变换。
单元重点、难点
重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式：两角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系.
难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间的联系；认识三角恒等变换的特点，并能解决一些三角恒等变换的问题。
二、本节教学目标

  1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
  2.掌握由两角差的余弦公式
  3.熟悉两角余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.

三、教学重点、难点

重点：两角差的余弦公式的探究及公式之间的内在联系；
难点：求值过程中角的范围分析及角的变换。

四、数学学科素养

1.数学抽象：两角差的余弦公式；
2.逻辑推理：运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；
3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.
4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。
5.直观想象：两角差的余弦公式的推导框图；

五、教学过程：见《研讨素材三》


 根据文末留言的要求，考虑到初三上高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。


— END —

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3.1.1 函数的概念（第1课时）教学设计
3.1.1 函数的概念 第1课时（2019版新教材）
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3.1.2 函数的表示法第1课时（2019版新教材）
3.1.2 函数的表示法（第2课时）教学设计
3.1.2 函数的表示法 第2课时（2019版新教材）
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（2019版新教材）
3.2.2 函数的奇偶性（2019版新教材）
3.3 幂函数教学设计（2019版新教材）
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值教学设计
3.2.2 函数的奇偶性教学设计（2019版新教材）
第三章 函数的概念与性质 小结与复习 第1课时教学设计
第三章 函数的概念与性质 小结与复习 第2课时
4.2 指数函数 2课时，单元教学设计
4.1指数（第2课时）
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1指数（第1课时）
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4.3.2 对数的运算（2019版新教材）
4.3.1 对数的概念（2019版新教材）
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4.5.3函数模型的应用（第2课时）
4.5.3函数模型的应用（第1课时）
4.5.2用二分法求方程的近似解
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
5.3诱导公式
5.2 三角函数的概念
5.1.2弧度制

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