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微课视频讲

余弦函数的性质

正弦函数


一、教材分析
教材截图
（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）


教材分析：

详见前1课时：教学研讨｜5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 （2019版新教材）
  本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.

二、教学目标
1.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期；
2.借助图象直观理解正、余弦函数在[0，2]上的性质（单调性、最值、图象与x轴的交点等）；
3.能利用性质解决一些简单问题

三、教学重点、难点
重点：能利用性质解决一些简单问题；
难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.

四、数学学科素养
1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；
2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；
3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.
4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质。

五、教学过程：见《研讨素材二》


第三部分正弦函数、余弦函数图象与性质的初步应用
(一）例题
例1求下列函数的周期：

追问：

  解答完成之后思考，求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？这些函数的周期与解析式中哪些量有关？
  师生活动：
  对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在.教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解.对于周期问题，求解的步骤如下：
   第一步，先用换元法转换，比如对于
令2x=t,所以y=f(x)=cos2x=cost;
  第二步，利用已知三角函数的周期找关系.有
代人可得

  第三步，根据定义变形，变形可得cos2(π+x)=cos2x,于是就有f(π+x)=f(x)
  第四步，确定结论，根据定义可知其周期为π
 周期与自变量的系数有关，仿照上述分析过程可得函数
的周期为
一般地，如果函数y=f(x)的周期是T,

   设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数的周期，为后续学习作准备。
  例2 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.

  师生活动：学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，教师点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1),因为1是确定值，因此问题转化为求y=cosx的最值；对于（2),令2x=t,转化为求y=-3sint的最值；对于（3),它与（2)的不同之处在于自变量的范围有限制.
   设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用。
  例3不通过求值，比较下列各数的大小：

  师生活动：学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1),可直接应用函数的单调性求解；对于（2),首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1)题之后求解。
  设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题.
  例4 求函数的单调递增区间.
  师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解，本题中，令z=
当自变量x的值增大时，x的值也随之增大，因此若函数y=sinz在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.
  在解题完成后，教师可进一步提出此问题的变式问题：求函数
的单调递增区间.此变式问题让学生独立完成，可能会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析.
   设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养。
  例5 定义在实数集R上的偶函数f(x)的周期为π,

  师生活动：有前面函数学习的基础，学生容易求出当
  教师可启发学生，类比这个求解经验，解决第（1)小题，教师也可以引导学生在求函数解析式之前，根据性质，绘制其草图，这样有助于学生整体把握函数的图象和性质，也有利于此题的求解.
  设计意图：通过解决变式问题，让学生在不同的问题中理解函数的周期性、奇偶性、单调性，熟悉周期性在研究函数问题中的作用，并进一步熟悉正弦函数、余弦函数的图象与性质。
  (二）梳理总结
  问题1教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：
  (1)正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈.
  (2)对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？
  (3)通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？
  设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解，通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法.
  (三）拓展研究
  问题2:三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究结果写下来.
  设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性，同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。
  (四）布置作业
教科书习题5.4第1,2,3,4,5,12,16,18,19题。
  (五）目标检测设计
1.教科书第203页练习第2(1)(3)题，第3题；
2.教科书第207页练习第2,3题.
设计意图：
(1)考查学生对求函数周期性方法的掌握；
(2)考查学生对判断函数奇偶性方的掌握；
(3)考查学生对求函数最值方法的掌握；
(4)考查学生对函数单调性的理解.
【以上内容大部分选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】

 根据文末留言的要求，考虑到初三上高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。
— END —

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1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计
3.1.1 函数的概念（第1课时）教学设计
3.1.1 函数的概念 第1课时（2019版新教材）
3.1.1 函数的概念 第2课时（2019版新教材）
3.1.1 函数的概念 第2课时（2019版新教材）
3.1.2 函数的表示法第1课时（2019版新教材）
3.1.2 函数的表示法（第2课时）教学设计
3.1.2 函数的表示法 第2课时（2019版新教材）
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（2019版新教材）
3.2.2 函数的奇偶性（2019版新教材）
3.3 幂函数教学设计（2019版新教材）
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值教学设计
3.2.2 函数的奇偶性教学设计（2019版新教材）
第三章 函数的概念与性质 小结与复习 第1课时教学设计
第三章 函数的概念与性质 小结与复习 第2课时
4.2 指数函数 2课时，单元教学设计
4.1指数（第2课时）
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1指数（第1课时）
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.5.1函数的零点与方程的解（2019版新教材）
4.4 对数函数（3课时，单元教学设计
4.3.2 对数的运算（2019版新教材）
4.3.1 对数的概念（2019版新教材）
5.1.1 任意角 （2019版新教材）
4.5.3函数模型的应用（第2课时）
4.5.3函数模型的应用（第1课时）
4.5.2用二分法求方程的近似解
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
5.3诱导公式
5.2 三角函数的概念
5.1.2弧度制

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