距离2022年高考还有一个月，最近我会不定期分享我最近一年的原创命题！

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“22. (12分)”表示这题可能会出在新高考全国卷的第22题, 满分为12分.

本次的试题的第(2)问是个二选一的选做题, 主要特征是满分不相等, 包含了我对“优化试题呈现方式”的预测. 你可以在下面的链接中找到往年高考题对“满分不相等”类型的题目：

2010上海春季高考第23题：开放性试题(5) 写结论

2011上海高考第23题：开放性试题(2)结构不良试题

本题(2)的第一个小问满分是4分, 所需思维难度也没那么高; 第二个小问满分是7分, 需要想到比较多的处理细节.

4 牛顿迭代法求零点

22.(12分) 设函数.

(1)(5分) 证明函数存在最小值点.

(2) 已知有恒等式, 以及不等式在时恒成立.

请在下面两个小题中选一道题作答, 注意下面这两道题的满分分值不同, 如果都选做, 则按第一小题计分.

(i)(4分) 证明: .

(ii)(7分) 定义, . 证明对任意正整数, 有.

参考答案

(1), 设, 则, 所以在上单调递增.

由于, , 所以存在使得, 并且当时, ; 当时, .

所以在区间单调递减, 在单调递增, 从而可以取到最小值.

(2)(i)由(1)可得, 所以, 所以即. 从而. 另一方面, 由于是最小值点, 所以. 综上, .

(ii)注意到, 并且, 所以

注: 其实可以证明. 但是这就需要先证明, 从而要用数学归纳法来证明, 此题就会变得过于复杂.
本题背景是用牛顿迭代的方法求函数的零点.

试题评析

今年的命题要求与往年相比多了一项“优化试题呈现方式”, 结合去年高考出现的一些当时让我们意想不到的题目, 比如：

• 2021新高考全国Ⅱ卷, 破天荒的在22题放选做题而不是在大家以为的解三角形的地方;
• 2021课标全国甲卷, 数列题(第18题)的命题方式也非常新颖, 给出三个命题, 证明其中两个命题可以推出另外一个命题.

所以我们有理由猜测今年可能会试探性的出一些更加意想不到的题目. 我给出的预测是今年会出满分分值不相等的选做题. (当然如果今年不出的话接下来几年还是有可能会出现的)

附：两道高考题

【2021新全国Ⅱ, 22】
已知函数.
(1) 讨论的单调性;
(2) 从①②两组条件中选取一组作为已知条件, 证明: 恰有一个零点.
①;
②, .
注: 如果选择两组条件分别解答, 按第一个解答计分.

【2021课标甲, 18】
已知数列的各项均为正数, 记为的前项和, 从下面①②③中选取两个作为条件, 证明另外一个成立.
①数列是等差数列;
②数列是等差数列;
③.
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.