距离2022年高考还有不到一个月，最近我会不定期分享我最近一年的原创命题！

如果您要采用我已经发出来的原创题，欢迎在后台交流使用的经验、学生的反馈等等.

如果您需要Fiddie帮您命制一些原创的高中数学题，我可以有偿专门为您提供，可以在gongzhong号后台留言“命题需求” (需要把双引号里面的话复制到gongzhong号后台留言).

“22. (12分)”表示这一题可能会在新高考全国卷的第22题出现，满分为12分.

2 冰壶问题

今天分享的一道题是冬奥会里面的冰壶问题. 这一道题无论是命题背景还是考察内容、解题思路等，我认为都是非常新颖的. 具体题目如下：

【Fiddie原创】22. (12分) 冰壶是2022年北京冬奥会的一个项目, 红黄两队轮流掷壶. 如图1, 最外层的大圈构成的区域叫做圆垒, 而场上的壶状石球叫做冰壶. 比赛的目标是往圆垒的中心掷尽可能多的壶. 每个冰壶的规格(重量和形状大小)相同, 我们可以把冰壶看作半径为1的圆, 并称“冰壶的位置”为冰壶中心所在位置. 如图2, 在平面直角坐标系上, 记冰壶的初始位置分别为, 假设冰壶从开始沿着直线运动, 当运动的冰壶碰撞静止的冰壶后, 碰撞时冰壶的位置为, 碰撞后冰壶的运动方向为, 冰壶的运动方向记为, 满足并且.

在一局冰壶比赛中, 假设圆垒中含有黄队已经投掷的两个冰壶、, 其所在位置分别为、. 考虑到场地宽度限制, 我们假设其中的实数. 现在轮到红队掷壶, 红队打算采用“双飞”战术, 即掷壶使得在碰撞冰壶之后, 也能碰撞到冰壶, 这样红队就能在比赛中占据优势. 记碰撞时冰壶碰撞时的位置为, 位于第四象限. 我们不考虑碰撞的速度变化情况, 也不考虑与碰撞的情况.

(1)当时, 如果冰壶碰撞后可以“正碰”冰壶(即碰撞后冰壶朝着冰壶的中心运动), 求与轴正方向构成的夹角.

(2)把可以使得“双飞”战术成功的全体形成的轨迹记为.

(i)证明: 对任意给定的, 曲线是一段半径为2的圆弧.

(ii)记曲线的长度为, 求在区间上的单调性.

参考答案与解析

(1)为了让正碰, 只需要让. 记, 则相当于与斜率之积为, 即. 化简得

即, 即. 由于, 故解得.

评分标准：写出“斜率之积为”得2分, 化简出得1分, 得到答案得1分.

(2)(i)由于圆与圆外切, 而两个圆的半径为1, 所以到原点的距离恒为2, 即是一段半径为2的圆弧. (2分)

(ii) 设冰壶的碰撞位置为, 由于在第四象限, 则, 并且的斜率为. 这样, 假设可以使得冰壶碰撞到冰壶的的取值范围是, 则的长度为. 我们下面只需要把的取值范围(跟有关)求出来.

设, , 过且与垂直的直线方程为

即. 同理, 过且与垂直的直线方程为. 由题意, 如果冰壶能碰到冰壶, 那么需要满足到直线的距离不超过1或者到直线的距离不超过1, 即

化简得

假设满足, 于是上式等价于

由于, 所以, 由函数在区间单调递增, 则上面不等式的左侧可以化为, 即, 即

①当时, 有不等式

所以不等式的右侧恒成立, 于是的取值范围是, 从而, 从而函数关于在区间上单调递增. 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增.

②当时, 取使得, 此时, 所以. 则由可得, 即的取值范围是, 所以, 函数关于在区间上单调递减. 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减.

评分标准: 能把问题转化为求的取值范围得1分, 得到或得1分, 分类讨论得2分, 解出答案得2分.

注：这一题在最后用到了如下复合函数单调性的结论: 如果函数关于在区间上单调递减, 在区间上的值域为, 函数在区间上单调递增, 则函数在区间上单调递减.

证明非常简单: 若, 则. 由在上单调递增, 则. 所以函数在区间上单调递减.

题目解析

冬奥会无疑是这次高考的热点，而目前大多数模拟题与冬奥会有关的问题都只是考察了排列组合和概率统计，相当于只是在一些经典题目的基础上套一层冬奥会的皮，很少会针对冬奥会本身所涉及到的一些数学元素（比如数学建模）来进行考察.

往年高考题对奥运会有关的考察如下：

往年高考原题精选(16)——与“奥运”有关的高考数学题【第2版】

但是对于冬奥会项目本身涉及到的数学元素，很难用短短一两百字就能把一些规则之类的事情说清楚，所以我认为像这种类型的题很容易会出现题干过长的情况. 既要把规则解释得恰到好处，也要求废话不能太多，对命题者提出了比较高的要求.