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2021年高考数学真题试卷（北京卷）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分）

1.已知集合 ， ，则 （ ）

A.B.C.D.【答案】 B

【考点】并集及其运算

【解析】【解答】解：根据并集的定义易得 ，

故答案为：B

【分析】根据并集的定义直接求解即可.

2.在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）

A.B.C.D.【答案】 D

【考点】复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解： ，

故答案为：D

【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.

3.已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】 A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),

所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；

②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，

所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，

所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.

故答案为：A

【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.

4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）

A.B.4C.D.2

【答案】 A

【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：

该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，

则SB=SC=BC= ，

则所求表面积为 故答案为：A

【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.

5.双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）

A.B.C.D.【答案】 A

【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：由得c=2a，则b=c-a=3a

则可设双曲线方程为： ，

将点 代入上式，得 解得a=1,b=3

故所求方程为： 故答案为：A

【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.

6. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ）

A.64B.128C.256D.512

【答案】 B

【考点】等差数列的性质

【解析】【解答】解：由题意得 ， 则 ， 则 ， 所以.

故答案为：B

【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.

7.函数 ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为 D.偶函数，最大值为 【答案】 D

【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值

【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)

∴f(x)为偶函数

又f(x)=cosx-cos2x=-2cos²x+cosx+1

令t=cosx，则y=-2t²+t+1，t∈[-1,1]，

则当时，y取得最大值.

故答案为：D

【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.

8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】 B

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】【解答】解：如图所示，

由题意得 ， 则r=50

则雨水的体积为 ，

则降雨的厚度（高度）为

故答案为：B

【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.

9.已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）

A.B.C.D.

【答案】 C

【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，

则 ，

则当n取最小值2时，d取得最大值为 ，

则

当k=0时，d取得最大值为 ，

则

解得

故答案为：C

【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.

10.数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）

A.9B.10C.11D.12

【答案】 C

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和

【解析】【解答】解：∵ 数列是递增的整数数列 ，

∴n要取最大，d尽可能为小的整数，

故可假设d=1

∵a₁=3，d=1

∴a_n=n+2

∴

则S₁₁=88<100，S₁₂=102>100，

故n的最大值为11.

故答案为：C

【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.

二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分）

11. 展开式中常数项为 ．

【答案】 -4

【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用

【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为

令12-4k=0，得k=3

故常数项为

故答案为：-4

【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.

12.已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是 ；作 轴于 ，则 ．

— END —


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