第5题是一个送分题，但是学生考完后普遍反映不知道什么是2个整数互质。

第8题用到了初中直角三角形斜边上的高的一些等式，如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，由三角形相似可以得到CD²＝AD×CD，AC²＝AD×AB，CB²＝BD×BA。

下图为正四棱锥外接球过PA的轴截面。PG为正四棱锥的高，设为h，设正方形ABCD的边长为a。因为球体积为36π，所以球半径为3，由直角三角形斜边上的高知：PA²＝PG×PM和AG²＝PG×MG，得：l²＝6h，S_ABCD＝a²＝0.5AG²＝0.5h(6－h)，所以V_P—ABCD＝1/3S_ABCDh＝1/6h²(6－h)，由3≤l≤3，可知3/2≤h≤9/2，体积V是高度h的三次函数，用导数分析函数的单调性就可以得到正四棱锥体积的取值范围。

学生反映这道题无从下手，其实是他们没有找到l与h的关系，所以建立不了体积是高h的函数。

第16题用到椭圆定义。如图，因为AF₂是DE的垂直平分线，所以△ADE≌△F₂DE，所以△ADE的周长等于△F₂DE的周长，由椭圆定义知|DF₁|＋|DF₂|＝|EF₁|＋|EF₂|＝2a，所以△ADE的周长为4a，所以问题的难点为如何根据已知条件求a，否则再求出|AD|＋|AE|是更困难的一个问题。

第19题的（Ⅰ）是由棱锥体积公式得到点到面的距离。由直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积得到三棱锥A₁—ABC的体积，已知△A₁BC的面积，可以得到点A到平面A₁BC的距离。（Ⅱ）不会用平面与平面垂直的性质定理证明AB⊥BC，从而不能建立空间直角坐标系。

二、提升数学学科核心素养

1、提升数学运算、逻辑推理素养

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。^[1]

高考第16题中求a的过程：

培养学生的数学运算核心素养在于平时我们要舍得给学生时间训练学生的运算能力。学生总以为数学运算不需要训练，有解决问题的思路就可以，考试时自然就能写出完整的运算过程。但事实上学生在考试时通常不出三步就出错，能完整的写出运算过程的学生很少。

2、提升直观想象、数学抽象素养

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。^[1]

仍以第8题为例，首先学生要能够在脑海中抽象出过PA的轴截面，然后才能分析、计算。

直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们认识和探索空间图形、研究它们的性质的重要手段。从人们认识世界的过程来看，对“形”的认识要先于对“数”的认识，“形”直观、具体、形象，“数”理性、抽象、逻辑，所以学习立体几何的途径是：直观感知（识图）—操作确认（画图）—推理论证（证图）—度量计算（算图）。^[4]这样才能提升直观想象素养和数学抽象素养。

3、提升数学建模、数据分析素养

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。^[1]

第12题为开放型试题，题目的设问和解答均有很高的开放度，考生可以根据自己的知识储备按照题目要求答题。中学阶段学习的函数有：（1）简单幂函数（如y＝x，y＝x²，y＝x³，y＝x^－1等）及其推广（一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数等）；（2）指数函数y＝a^x和对数函数y＝log_ax；（3）三角函数，主要是正弦类函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b以及正切函数；（4）数列（离散类函数），主要是等差数列和等比数列；（5）简单的分段函数。因为f(3/2－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以函数与它的导函数均有对称轴，容易构造的数学模型是三角函数。

数学核心素养体现了数学学科的本质，史宁中教授用 “三用”，即会用数学的眼睛观察现实世界（直观想象、数学抽象）、会用数学的思维思考现实世界（数学运算、逻辑推理）、会用数学的语言表达世界（数学建模、数据分析）概括数学核心素养的精髓。数学核心素养的各个方面具有相对独立性，即不同核心素养在学科学习过程的不同环节中形成，如发现与提出问题环节、分析与解决学科问题和实际问题环节等，并分别发挥不同作用。数学核心素养具有整体性，各个核心素养是一个有机联系的整体，它们不是两两“不交”的独立素养，而是相互“胶着”相互“渗透”的。^[5]

三、加强数学阅读能力培养

实行课程标准后，数学科高考加强了统计内容的考查，对于数学应用能力的考查多是以统计素材为依托，体现了考查的综合性，使试题富有时代气息，展现“互联网＋”大数据时代特色。

高考第20题第（Ⅱ）不是以考生熟悉的形式呈现，运算量比较大等，但最重要的原因是学生读不懂试题，不能理解题意，所以没有解题的基础。数学阅读不同于一般的阅读，其中包括对逻辑结构的分析和理解，所以数学阅读是以逻辑思维能力为基础的能力，要从提高逻辑思维能力的角度分析问题，提出解决问题的策略。因此从本题看，数学阅读能力是解决问题的关键。提高数学阅读能力对提高考生的抽象概括素养、数学建模素养至关重要。^[6]

“本手、妙手、俗手”是围棋的三个术语。本手是指合乎棋理的正规下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而从全局看通常会受损的下法。对于初学者而言，应该从本手开始，本手的功夫扎实了，棋力才会提高。一些初学者热衷于追求妙手，而忽视更为常用的本手。本手是基础，妙手是创造。一般来说，对本手理解深刻，才可能出现妙手；否则，难免下出俗手，水平也不易提升。学习数学也是这样一个过程，在高一高二学习新知识的两年中要给学生打好基础。只有基础打好了，学生才能在高三总复习中有高深、精妙的解法。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]吕增峰数学解题教学不只是“解题”.数学通讯[J]2021.12

[3]沈桂珍，如何培养学生的计算推理能力.读写算.教研版[J]2014年24期，

[4]普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册（2019年11月第1版）[M].北京：人民教育出版社，2020年12月第2次印刷。

[5]任子朝、陈昂、赵轩.数学核心素养评价研究.课程教材教法[J]2018年5月第38卷第5期

[6]任子朝、陈昂、赵轩.加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底.数学通报[J]2018年第57卷第6期