今年新高考数学试卷，有一道选择题。大意是：一个水库，当水位升高9米时，水面面积从140平方千米增加至180平方千米。使用台体体积公式估算增加的水量。这道题目很简单，连我这种离开校园十七年的人，翻翻书找到台体体积公式，也能算出答案。

把问题置于“南水北调”这个大背景下，命题方的考虑是：“以我国的重大建设成就‘南水北调’工程为背景，考查学生的空间想象、运算求解能力，引导学生社会主义建设成果，增强社会责任感。”

从考试层面看，这道题目不需要更多的讨论。不过，我想起一件事来，去年和人闲聊天，纯粹闲聊天，聊到正交试验。记得手上有本我国著名数学家华罗庚和王元写的小册子，里面有相似的内容（不是正交试验，而是优选法）。把书找出来顺着读，看到了他们上世纪六十年代发表的论文《关于在等高线图上计算矿藏储量与坡地面积的问题》。如果读者清楚水库、山体、水位、面积、等高线、高……这些概念之间的关系，那么华罗庚和王元在这篇论文里的工作，可以用来对这道题目做些讨论。这篇推送就是基于这样的考虑而写，它是一个读书笔记，没有任何的新东西。

华罗庚和王元在论文中介绍了三种估算体积的常用方法，第一个方法来自苏联，称为Бауман定理。第二个方法正是今年高考题使用的台体体积公式。第三个方法是个类似梯形面积的公式：上底与下底的面积之和乘以高的一半（得到体积），后文称为“梯形方法”。经验表明，当面积变化率大于40%时，使用方法二，即台体体积公式；小于40%时，使用梯形方法。

Бауман定理略微复杂，涉及新图形的构造并求其面积。具体的构造方法简述如下：第一步，在等高线图上，从制高点作一条射线与两条等高线相交，得到两交点间的线段。第二步，另取一张纸，在上面固定一个点，然后把第一步得到的线段平移到这张纸上，使离制高点近的线段端点与新点重合。第三步，在等高线图上旋转射线一圈。如此一来，在新纸上围绕固定点，线段的另一个端点的轨迹将描绘出一个新图形。读者可以使用GeoGeBra软件试一试，否则不好想象。

用梯形方法得到的体积，减去新图形面积与高之积的1/6，就是Бауман定理。用微积分证明定理，解释了为什么会有“新图形”。

上述结论适用于很一般的例子。对于圆台，一个特殊的例子，对应Бауман定理的新图形是个圆！其半径为圆台上下底半径之差。对圆台体积公式里的上下底半径“配方”，能够推导出圆台的Бауман定理。当然，用Бауман的方法，也能直接得到圆台的体积公式。大概的初等想法是，把圆台分成高度相等的几份，计算每一份的体积的上下限。显然，所有小份体积之和，即原体积也会有个上下限。这个过程会遇到“自然数的平方”这个数列的前N项和，1/6大概来自这里。然后，让分割越来越细，上下限越来越接近，这样估算的体积越来越精确。

华罗庚和王元证明了，用Бауман定理估算的体积小于或等于用台体体积公式估算的体积，用台体体积公式估算的体积又小于或等于用梯形方法估算的体积。他们认为，一般情况下Бауман定理更精确，还计算了在面积变化率小于40%时，梯形方法对Бауман定理的相对误差小于10%。

至此，引用内容简要叙述完毕。我总觉得Бауман定理的理论价值要大于实际价值，也就是说它用来分析其他方法的相对误差，要比直接用它估算体积好使。毕竟“新图形”不好画，其面积不好算。

回到开篇提到的题目。水库水位升高9米，水面面积从140平方千米变为180平方千米，面积变化率小于40%。根据前面的内容，也可以用梯形方法估算水的增加量：9米/2*(140,000,000平方米+180,000,000平方米)=1,440,000,000立方米≈1,400,000,000立方米。■

至此，正文结束。说点题外话，科学家爱国，华罗庚数一数二。全面抗战爆发和新中国成立，华罗庚都从海外返回祖国，发展数学事业。这种爱多么的纯粹！

1938年至1946年，华罗庚在昆明，他的旧居现在是保护文物，在宜家出去一点。数学史对他在这一时期的研究工作评价非常高，常用“奇迹”赞美。特别是数论领域，不仅有顶级的成果，还留下了深厚的传统。上世纪60年代开始，华罗庚和他的团队在全国普及数学方法，也很了不起。这篇体积估算的论文，属于普及工作，不需要太深的数学准备。

最后发个感慨：没想到，闲聊天居然能聊出一篇推送来

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