这道题稍微有点复杂，毕竟有直接写出答案的大概率就不是简单的题目。

首先还得弄懂题目的意思，点P的移动时根据点M的坐标来决定的，如果a是正的那么点P就向右平移，如果a是负的，那么P就是向左平移，同理b的正负决定了P的上下平移；

（1）

①这一小题还是比较好解决的，根据M的坐标（1,1），可以知道P向右平移1个单位，再向上平移1个单位，那么P'的坐标为（-1,1）

在图上标注一下P'的位置，然后以N为对称中心，画出Q的位置即可

根据图上的N是在格点上的，∴画完的Q也是在格点上的；

②要证明2倍的长度关系，这里也没有中位线，∴可能需要求出长度；

OM可知=√2

那么关键就是NT了

这里就需要动动脑筋了，连接PQ之后，我们假设N的坐标（n，n），毕竟题上只说了N在OM延长线上，并没有给出坐标，∴如果误认为N在（2,2） 上，那就真该补补脑了。

如此一来，我们可以很简单的获取Q的坐标（2n+1,2n-1）

而ON这条线很容易联想到延长，而且上面的点的坐标都是横纵相等

∴我们延长ON，并且过Q做x轴的平行线，二者相交于K

则可得K的坐标（2n-1,2n-1）

那么KQ=2

而OP=2，

∴△OPT和△KTQ全等

则T为OK中点

可得T的坐标，结合N的坐标可得NT长度

∴可证OM=2NT；

（2）

这小题限定了M是⊙O上的一点，那么其实不难发现P'就在以P为圆心、1为半径的圆上，如此一来，不就可以得到PP'和OM平行且相等了吗

所以我们最终画图大致就是这样的，注意P可是个未知的点，但是不管P在哪，图形基本都可以画成这样，而且，P'和M是同时移动的，也就是平行四边形的不稳定性，即P‘M会左右摇摆

那么再来看PQ，PQ什么时候最长？什么时候最短呢？

其实根据图形的想象就能发现，当P'M向右摇摆到和PO共线的时候，PQ是最长的，同理向左摇摆到与PO共线时，PQ是最短的

如图，最长和最短的情况基本就是这个样子

但是P和O之间的距离我们不知道，∴我们只有先表示出两种情况的PQ

最长情况下，PQ=P'Q+PP'=2(OP-1+t)+PP'

最短情况下，PQ=P'Q-PP'=2(OP+1-t)-PP'

其中PP’=1，OP虽然未知但是相减可以抵消，两种情况下的P'Q直接代入了计算的结果；

二者相减可得差值4t-2

那么，除了这样，还可以利用我们平时常用的线段和问题，而线段和不是轴对称就是圆

我们还用这个图，根据条件可知N是P'Q的中点，有一个中点，那么如果再有平行线，好像就能搞出中位线了

∴过Q做PP'的平行线，并延长PO，二者相交于点H

如此，O为PH的中点，QH=2ON-PP'=2t-1

∴Q在以H为圆心、2t-1的圆上

那么PQ的范围就有了

PH-QH≤PQ≤PH+QH

∴最大值与最小值的差值=2QH=4t-2

整个过程中，我们将图形从坐标系中拿了出来，完全看作是一个几何图形来解决，放在坐标系中就会考虑坐标问题，所以干脆将图形拿出来，减少了其他东西的干扰。