收录于话题

#专项练习

一、利用公式法求通项公式

例1已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，

故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由

得

则

所以数列的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由

得

则

所以

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：两边除以，得

，

则，

故

因此，

则

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，

则

所以数列的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例6（2004年全国15题）已知数列满足

，则的通项

解：因为①

所以②

所以②式－①式得

则

则

所以

③

由，取n=2得，则，又知，则，代入③得

。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n≥2），进而求出，从而可得当n≥2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，

得⑤

由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例8已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设⑥

将代入⑥式，得

整理得。

令，则，代入⑥式，得

⑦

由及⑦式，

得，则，

故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

例9已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设

⑧

将代入⑧式，得

，则

等式两边消去，得，

则得方程组，则，代入⑧式，得

⑨

由及⑨式，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：因为，所以。在式两边取常用对数得⑩

设11

将⑩式代入11式，得，两边消去并整理，得，则

，故

代入11式，得

12

由及12式，

得，

则，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式

例11已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而

七、利用数学归纳法求通项公式

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当n=1时，，所以等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，

由此可知，当n=k+1时等式也成立。

根据（1）（2）可知，等式对任何

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式

例13已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，则

故，代入得

即

因为，故

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。

评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式

例14已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例15已知数列满足，求数列的通项公式。

解：令，得，则x=1是函数的不动点。

因为，所以

，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。

评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

十、利用特征根法求通项公式

例16已知数列满足，求数列的通项公式。

解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。

由初始值，得方程组

求得

从而。

评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。

推荐阅读

一个本科学历值多少钱？硕士呢？博士呢？

2022-09-08

一轮复习 | 对数与对数函数

2022-09-08

高中数学《三角函数》复习注意的几点方法技巧

2022-09-08

有一个当班主任的姐姐是一种什么样的体验？这也太反转了吧哈哈哈哈哈

2022-09-08

发疯文学，学会了也被拉黑了哈哈哈哈哈哈哈哈

2022-09-08