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2021年全国乙卷高考理科数学真题及答案

考前须知：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.设2〔z+〕+3(z-)=4+6i，那么z=( ).

A.1-2i

B.1+2i

C.1+i

D.1-i

2.集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，那么S∩T=( )

A.

B.S

C.T

3.命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，≥1，那么以下命题中为真命题的是〔 〕

A.pq

B.pq

C.pq

D.(pVq)

4.设函数f(x)=，那么以下函数中为奇函数的是〔 〕

A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，那么直线PB与AD₁所成的角为〔 〕

A.

B.

C.

D.

5名北京冬奥会志愿者分配到把戏滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个工程进展培训，每名志愿者只分到1个工程，每个工程至少分配1名志愿者，那么不同的分配方案共有〔 〕

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像，那么f(x)=〔 〕

A.sin()

B. sin()

C. sin()

D. sin()

8.在区间〔0,1〕与〔1,2〕中各随机取1个数，那么两数之和大于的概率为〔 〕

A.

B.

C.

D.

9.魏晋时期刘徽撰写的?海岛算经?是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在程度线AC上，DE和FG是两个垂直于程度面且等高的测量标杆的高度，称为“表高〞，EG称为“表距〞，GC和EH都称为“表目距〞，GC与EH的差称为“表目距的差〞。那么海岛的高AB=〔 〕.

A：

B：

C：

D：

10.设a≠0，假设x=a为函数的极大值点，那么〔 〕.

A：a＜b

B：a＞b

C：ab＜a²

D：ab＞a²

11.设B是椭圆C：〔a＞b＞0〕的上顶点，假设C上的任意一点P都满足，那么C的离心率的取值范围是〔 〕.

A：

B：

C：

D：

12.设，，，那么〔 〕.

A：a＜b＜c

B：b＜c＜a

C：b＜a＜c

D：c＜a＜b

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13.双曲线C：〔m>0〕的一条渐近线为+my=0，那么C的焦距为 .

14.向量a=〔1，3〕，b=〔3，4〕，假设〔a-λb〕⊥b，那么λ= 。

15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a²+c²=3ac，那么b= .

16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，那么所选侧视图和俯视图的编号依次为 〔写出符合要求的一组答案即可〕.

三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

17.〔12分〕

某厂研究了一种消费高精产品的设备，为检验新设备消费产品的某项指标有无进步，用一台旧设备和一台新设备各消费了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备消费产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s₁²和s₂²

（1）求，， s₁²，s₂²；

（2）判断新设备消费产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著进步〔假如-≥，那么认为新设备消费产品的该项指标的均值较旧设备有显著进步，否那么不认为有显著进步〕.

18.(12分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

19.〔12分〕

记S _n为数列{a_n}的前n项和，b_n为数列{S_n}的前n项和，=2.

（1）证明：数列{b_n}是等差数列；

（2）求{a_n}的通项公式.

20.〔12分〕

设函数f〔x〕=ln〔a-x〕，x=0是函数y=xf〔x〕的极值点。

（1）求a；

（2）设函数g〔x〕=，证明：g〔x〕＜1.

21.〔12 分〕

己知抛物线C：x²=2py〔p＞0〕的焦点为F，且F与圆M：x²+〔y+4〕²=1上点的间隔 的最小值为4.

〔1〕求p；

〔2〕假设点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.

〔二〕选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］〔10分〕

在直角坐标系xOy中，C的圆心为C〔2，1〕，半径为1.

〔1〕写出C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；

〔2〕过点F〔4,1〕作C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

23.[选修4一5：不等式选讲]〔10分〕

函数f〔x〕=|x-a|+|x+3|.

〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥6的解集；

〔2〕假设f〔x〕≥ —a ,求a的取值范围.

理科数学乙卷〔参考答案〕

考前须知：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回

1-5 CCABD

6-10 CBBAD

11-12 CB

1

14.

15.2

16.②⑤或③④

17.解：〔1〕各项所求值如下所示

=(

=(

=-10.0)² + 2 x (9.8-10.0)² + (9.9-10.0)² + 2 X (10.0-10.0)² + (10.1-10.0)²+2 -10.0)²+(10.3-10.0)²] = 0.36,

= x [(10.0-10.3)²-10.3)² +(10.3-10.3)² +2 10.3)²+2 )²+ -10.3)²] = 0.4.

(2)由(1)中数据得-=0.3,2≈0.34

显然-＜2，所以不认为新设备消费产品的该项指标的均值较旧设备有显著进步。

18.解：〔1〕因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

设BC=t，A〔t，0，0〕，B〔t，1，0〕，M〔，1，0〕，P(0,0,1),所以=〔t，1，-1〕，=〔，1，0〕，

因为PB⊥AM，所以?=-+1=0，所以t=，所以BC=。

〔2〕设平面APM的一个法向量为m=〔x，y，z〕，由于=〔-，0，1〕，那么

令x=，得m=〔，1，2〕。

设平面PMB的一个法向量为n=〔x^t，y^t，z^t〕，那么

令=1，得n=(0,1,1).

所以cos〔m，n〕===,所以二面角A-PM-B的正弦值为.

19.〔1〕由+=2,那么=S_n(n≥2)

+=22b_n-1+2=2b_nb_n-b_n-1=(n≥2),b₁=

故｛b_n｝是以为首项，为公差的等差数列。

〔2〕由〔1〕知b_n=+〔n-1〕=,那么+=2S_n=

n=1时，a₁=S₁=

n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-=

故a_n=

20.〔1〕[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1

〔2〕由f(x)=ln(1-x),得x＜1

当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即证x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,那么

f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt

所以f(t)在〔0,1〕上单调递减，在〔1,+∞〕上单调递增，故f(t)＞f〔1〕=0,得证。

21.解：〔1〕焦点到的最短间隔 为，所以p=2.

〔2〕抛物线，设A(x₁,y₁〕,B(x₂,y₂),P(x₀,y₀)，那么

,

,且.

,都过点P(x₀,y₀〕,那么故，即.

联立，得，.

所以= ，，所以

===.

而.故当y₀=-5时，到达最大，最大值为.

22. (1)因为C的圆心为(2,1)，半径为1.故C的参数方程为〔为参数).

(2)设切线y=k〔x-4)+1,即kx-y-

=1

即|2k|=,4=，解得k=±.故直线方程为y= (x-4)+1, y= (x-4)+1

故两条切线的极坐标方程为sin=cos-+1或sin=cos+ +1.

23.解：(l)a = 1时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.

当x≥1时，2x十2 ≥6,得x≥ 2;

当-3<x<1时,4≥6此时没有x满足条件；

当x≤-3时-2x-2≥x≤-4，

综上，解集为(-∞,-4]U[2, -∞).

(2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3间隔 的最小值.

当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|＞-a.

A≥-3时,2a+3>0，得a>-；a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在.

综上，a>-.

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