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离2023高考越来越近, 最近我会不定期分享我最近一年的原创命题.

如果您要采用我已经发出来的原创题, 欢迎在后台交流使用的经验、学生的反馈等等.

预测题的作用并不是预测一模一样的题, 更重要的是体现我认为的命题趋势.所以, 这里不仅仅预测2023年的趋势, 也会预测未来几年的趋势.

如果您需要Fiddie帮您命制一些原创的高中数学题, 我可以有偿专门为您提供, 可以在gongzhong号后台留言“命题需求” (需要把双引号里面的四个字复制到gongzhong号后台留言, 不含双引号)

“21. (12分)”表示这一题如果作为新高考全国卷的试题, 会在第21题出现, 满分是12分.

2023高考数学预测(3)——三角函数建模题

本题出自我的原创2023年高考数学预测模拟卷，

链接：【Fiddie原创】原创2023年高考模拟题

18.(12分) 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域, 主要用于测量太阳等星体的方位, 便于船员确定位置. 如图1所示, 十字测天仪由杆和横档构成, 并且是的中点, 横档与杆垂直并且可在杆上滑动. 十字测天仪的使用方法如下: 如图2, 手持十字测天仪, 使得眼睛可以从点观察. 滑动横档使得在同一水平面上, 并且眼睛恰好能观察到太阳, 此时视线恰好经过点, 的影子恰好是. 然后, 通过测量的长度, 可计算出视线和水平面的夹角(称为太阳高度角), 最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

(1) 在某次测量中, , 横档的长度为, 求太阳高度角的正弦值.

(2) 在杆上有两点满足. 当横档的中点位于时, 记太阳高度角为, 其中都是锐角. 证明: .

解答

评分标准：(1)6分，(2)6分.

【解答】 (1)【方法一】由题意, . 由于是的中点, 且, 所以, 且. 由余弦定理,

从而, 即太阳高度角的正弦值为.

【方法二】由题意, . 由于是的中点, 且, 所以, 且.

于是, 并且,

从而

即太阳高度角的正弦值为.

(2)由题意, , .

由于是锐角, 则, 所以,

从而

根据, 可知

由于函数在单调递增, 且,

所以, 即.

试题评析

基本维度

本题难度不大，唯一难想的地方是最后要用正切函数的单调性来证（当然也可以用正弦函数），但据做了这道题的同学反映，这个思路算是比较自然的。

本题计算量非常小，只有计算太阳高度角的正弦值那一步有一点点计算量。

本题复杂度较高，理解题目需要阅读约300字的文本，考察了学生的信息提取能力、阅读理解能力和学习能力。

命题过程

去年我发的预测题中有一道“跟冰壶有关的解析几何题”（链接：2022高考数学预测(2) 与冰壶有关的解析几何题），但那道题出得有点过头了，字数多达将近600个，有同学反映那道题更像是物理题。的确，那道题只适合平时练习用，不太适合出现在考试的场合中。

所以我吸取了教训，选取了更加简洁的数学模型——十字测天仪，并且设问也不设置得太复杂，帮助同学们遇到阅读理解题的时候树立更强的信心。

十字测天仪的素材来源于Charles Singer的《技术史》（第三卷），这套书介绍了古今中外的科学技术发展历程，里面有一些素材比较适合命制成高中数学题。

备考启示

最近各地区的模拟卷中，几乎没有模拟卷的解答题在考解三角形的应用。但是在新教材（2019年人教A版）中，解三角形的应用有整整一节，而且有许多课后习题并不是那么容易一眼就能看出来的。

有些同学可能忽视了这部分教材内容，这当然是不行的。之前有一个高三的学生问我怎么应对信息题，我说：“课本上的题你都做了吗？” 他说：“课本上的题有什么难的？”然后，我就翻开解三角形应用那一节（6.4节的“练习”），拿了下图中这一道题问他5分钟能否做出，结果他没做出来，而且是毫无思路。这种题关键就是“算两次”，即对同一个数学对象用两种不同的表达式表示，然后就能建立一个等式。

在十几年前的高考是有可能会把解三角形放在解答题的位置的，以2009年课标全国卷（当时也称宁夏、海南卷）的第17题为例，这道题也被编入了新教材中（人教A版必修第二册习题6.4、人教B版必修第四册习题9.2都有），如下图：

下面是教育部《试题分析》对这一题的评价：

试题评价： 本题是新课程下高考命题的一次创新, 是新课程中对“综合实践活动”能力考查的一次积极尝试. 试题合理把握问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度, 引导考生自觉地置身于现实生活的环境中, 在解决问题的操作、设计、求证的过程中展示其知识与技能、过程与方法以及情感、态度与价值观. 试题对推动新课程“三维目标”在教学中的落实有积极的意义.

在2021年课标全国甲卷和乙卷、2022年课标全国甲卷，已经把解三角形应用放在客观题的位置了（再上一次在全国卷中出现解三角形应用已经是2014年了），但不知道今年会是什么情况，所以建议大家做好多手准备，万一这种题目可能会出现在解答题，所以有必要锻炼一下这种题的书写过程。