2022年高考理科数学乙卷16题浅谈

2022年高考已经结束近两个月，今年数学卷的难度飙升，小编将各个题型的压轴题汇总到一起，并从中挑选出了乙卷的第16题，作为本期探讨的内容。

原题是这样的：

实质上这道题目并不难解，高三学生通过一系列导数专题的巩固练习，做出这道题是非常有可能的。然而，在解答过程中有一些细节，是我们没有注意到的，这些个细节其实只对准高三的学生们是有用的，这将帮助他们更加了解导数是如何影响函数的走势的。

之前提到算出结果不困难，因此我们直接给出答案：

综上所述，a的范围即为(1/e,1)。

当a在(0,1)内时，f'(x)是先递增再递减的，只能是满足f'(x)的最大值是正数，如此才会出现极小值点在极大值点的左侧的情形，从而得出a的准确范围。那么这就产生了一些疑问：f'(x)是从哪里开始递增的？又递减到哪里去？换句话说，当x与-∞离得很近时，f'(x)会不会是正数，以至于x?左侧没有零点（例如y=-1/x）？当x与+∞离得很近时，f'(x)会不会还是正数，以至于x?右侧还是没有零点（例如y=1/x）？

学习过高等数学的极限部分的话，很容易给出解答。下面尝试使用高中的方法来证明f'(x)确实是从负值开始递增，最终递减到负值的。而我们只需要证明在x?左侧存在一点的函数值是负值即可，右侧同理。

证明函数值为负，就是证明它是小于零的，这就联想到了放缩法。f'(x)中只有指数函数和一次函数，自然是对指数函数进行合理的放缩，且放缩为一次函数为好。倘若放缩后系数能够抵消，最终成为一个负数，便可达成我们的目的。

下面为完整解答（讲解此解答是个不小的篇幅，且略显啰嗦，因此就不呈现了）：

对于这道题而言，上述证明略显繁琐，但小编比较喜欢，个中数学思维颇耐人寻味。而整体的叙述，其实就是证明在（正）无穷远处，a?远大于kx（这里a>1，k>0），也就是说，指数函数递增的比一次函数快得多。