第1问解题思路：

两个等边三角形共顶点，则得到手拉手全等，即△BCE≌△ACF（SAS），所以∠CBE=∠CAF。

第2问解题思路：

1、由第1问可证得：△ECF为等边三角形；进一步可证得：EB=EC=CF=EF=AF;

2、可以证得△ABF≌△CBF，进一步证得△ABG≌△CBG，所以可以证得AC⊥BF；且G为AC的中点；

解法1：四点共圆

3、由∠CEH=∠CDH=60°可证得E、D、C、H四点共圆；

所以∠CHE=∠CDE=90°；

4、因为△ECF为等边三角形，CH⊥EF，所以H为EF中点，所以EH=FH；

解法2：逆用倍长中线

3、构造平行线

作FI∥DE与DH的延长线交于点I；要证EH=FH，只要证明△EHD≌△FHI，这两个三角形全等有3个角相等，我们只用证明另外两组边中的一组边相等即可；

4、构造全等将线段进行转移

①先证△EDC≌△FGC；得到∠1=∠2；GF=GD

②8字倒角，可以得到∠EMO=∠FCO=60°；

③可以证得∠MDG=∠MGD=∠IGF=∠GIF=30°

所以IF=FG=ED

④可以证得△EHD≌△FHI（AAS）,所以EH=FH；

第3问解题思路：

①求P点和Q点的运动轨迹；

因为是E、P关于直线AC对称，E、Q关于直线DG对称，所以比较容易求得P点的运动轨迹为直线AM、Q点的运动轨迹为直线DM；

并且∠DAG=∠PAG=∠EDG=∠QDG=30°；所以△ADM为等边三角形；

②证明四边形DGFQ为平行四边形

因为对称，所以ED=QD；由第二问△EDC≌△FGC可知ED=FG；所以QD=FG；

可以证得DM∥BF（∠GDQ=∠DGB=30°）

所以四边形DGFQ为平行四边形，QF=DG=（1/2）AC=2为定值；

③求证△PGQ为120°角等腰三角形

因为对称，所以EG=PG，且∠EGA=∠PGA=α；

因为对称，所以EG=QG，且∠EGD=∠QGD=β；

又因为α+β=∠AGD=120°

所以∠PGQ=360°-2（α+β）=120°

所以△PGQ为120°角的等腰三角形

所以PQ=√3PG

④求PQ+QF的最小值，就是求PQ的最小值

由第二问知G为AC中点，所以当GP⊥AM时，GP最小=（1/2）AG=1

所以PQ最小=√3

所以（PQ+QF）最小=2+√3