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#高代考研#高代考试
本试题参考自湖南大学2022年数学分析与高等代数考研真题，下面给出小编自己作出的解答. 若有疑问可在本gongzhong号聊天界面进行留言，希望可以帮助到大家学习！
第一题第一小问是高代课本第一章补充题2，考察对于互素多项式f(x),g(x)，表达式u(x)f(x)+v(x)g(x)=1中u(x),v(x)次数尽可能低的选取.只要u(x)的次数足够低，v(x)的次数也可足够低，这符合我们的直观猜测.
第二小问是第一小问的应用，由于对u(x),v(x)的次数要求有上界，所以可以用待定系数法求u(x),v(x).这也给我们启发，只要f(x),g(x)的次数足够低，用待定系数法求u(x),v(x)也是可行的.
第二题第一小问是高代课本第四章习题29的变式，考察分块行列式的降阶法，常用技巧是利用第三类分块初等变换不改变矩阵的行列式，所以利用第三类分块初等变换使得分块行列式变成准上三角行列式或准下三角行列式，从而达到降阶目的，这就是“打洞原理”，是每位学生都要掌握的技巧. 本gongzhong号在合同变换下的降阶法中详细介绍了降阶，读者可点击阅读.
第二小问考察Sherman—Morrison公式.这是一道很经典的习题，也有很多人会问这里的inv(A)是怎么构造的. 我们可以不严谨地采用分析的观点，即利用幂级数
(1+x)?1=1-x+x2-x3+···+(-1)?x?+···
可得
(E+αβ')?1=E-αβ'+α(β'α)β'-α(β'α)(β'α)β'+···
=E-α(1-β'α+(β'α)2-···)β'
=E-(1+β'α)?1·(αβ').
注意到β'α是数字.但是上述幂级数收敛性是要考虑收敛域的，我们暂时不考虑它，形式上运用上述得到的矩阵E-(1+β'α)?1·(αβ')，检验其是否为(E+αβ')?1. 这是本题构造inv(A)的方法.更一般地，若要求(A+αβ')?1，其中A是可逆矩阵，读者可尝试是否能进行构造.
第三小问是第二小问的应用.如果第二小问逆矩阵的构造没有想出来，可考虑用初等变换法求逆.
第三题考察内容比较平凡.但也要注意两个点，首先二次型f(x)=x'Ax的矩阵不一定是A，但一定是(A+A')/2.其次是观察矩阵B以及其特征多项式具有相同的分块，这是采用降阶法计算特征多项式的基础.
第四题考察f(A)构成的全体V与A的最小多项式之间的关系，本质考察最小多项式的定义以及求解方法. 读者需要熟知最小多项式的求解方法.
第五题考察可对角化的充要条件是最小多项式没有重根. 由于最小多项式整除零化多项式，所以可通过某个零化多项式没有重根得到最小多项式没有重根. 必要性的证明中要把矩阵A设为如上形式，这是考虑到了特征值的重数.
第六题集中考察上三角阵在矩阵分解中的应用.
第一小问是高代课本第九章习题13，需要用到上三角正交阵的每一列与前一列的正交关系而得到对角矩阵.
第二小问是高代课本第九题习题14，这是可逆矩阵的QR分解，也是Schmidt正交化的应用，也就是线性空间的任和一组基都可通过Schmidt正交化以及单位化变成标准正交基.唯一性的证明用到了两个上三角阵的乘积仍是上三角阵，可逆上三角阵的逆阵仍是上三角阵，两个正交阵的乘积仍是正交阵的结论，这是高代课本第四章习题25的结论，读者也要会证明.
第三小问仍是高代课本第九题习题14，这是正定矩阵的Cholesky分解，可以用降阶法与归纳法，这是合同变换下的降阶法中提到的思路.也可利用第二小问中QR分解的结论进行证明. 事实上，正定矩阵的Cholesky分解也是唯一的，读者可以尝试阅读.
注：关于Schur定理的证明，也可用2022年上海师范大学高等代数学硕真题参考答案第11题的结论结合可逆矩阵的QR分解进行证明，读者可以尝试补充完整.
总体而言本试题比较中规中矩，即有高代课本习题，也有一部分计算题检验大家是否能够运用新颖的结论进行快速求解.因为硕士研究生考试也注重考生的创新能力的发掘，所以发现新颖的结论并快速用之求解题目的能力是需要培养的.这也为日后撰写与发表论文培养创新性有一定好处.
注：本文中所指的高代课本指的是小编所用的北京大学前代数小组编（王萼芳，石生明修订）的《高等代数（第四版）》，而第五版课本内容与之大致相同，读者可作相应参考.
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2021年哈尔滨工业大学高等代数考研真题及参考解答
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