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专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】（1）比赛恰好打了7局的情况有两种，小明胜、小亮胜，即可解出；（2）分析可知的取值可以是2，3，4，5，分别求出对应的概率，即可解出．【解答】解：（1）恰好打了7局小明获胜的概率是，恰好打了7局小亮获胜的概率为，比赛结束时恰好打了7局的概率为，（2）的可能取值为2，3，4，5，的分布列如下： 2 3 4 5 ．【点评】本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的运算能力，属于基础题．21．（12分）（2022?湖北模拟）已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．【考点】直线与椭圆的综合【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解出的值，从而求出椭圆的标准方程．（2）由题意可知设求出直线与直线的方程，与椭圆方程联立，求出，的坐标，计算，求出直线的方程，分析出直线恒过定点，从而求出的周长为定值．【解答】解：（1）有题意可知，解得，椭圆的标准方程为．证明：（2）由题意可知设如图所示，直线的方程为，直线的方程为，联立方程，消去得即，则联立方程，消去得即，则直线的方程为，即故直线过定点，所以的周长为定值8，当时或过焦点，此时的周长为定值，综上所述，的周长为定值8．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，以及直线过定点问题，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．22．（12分）（2022?湖北模拟）已知函数，．（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；（2）若，为的两个极值点，证明：．【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理【分析】（1）若存在两个极值点，则与，有两个交点，即可得出答案．（2）由（1）知，且则，只需证明，即可解得的取值范围．【解答】解：（1）若存在两个极值点，则在上有两个根，所以有两个根，即与，有两个交点所以在上单调递增，在上单调递减，所以时所以，所以的取值范围为．（2）证明：由（1）知，且所以，所以只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令所以单调递减，则有（1）．【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）