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两倍角的正弦、余弦、正切公式
两倍角的正弦、余弦、正切公式



一、教材分析
教材截图
（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：  
  本节课以两角差的余弦公式为基础，推导其他公式的过程是一个逻辑推理的过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程。
  教科书不仅重视对推出的公式的理解、应用而且还重视推导过程所承截的育人功能。
  教学中，要把握机会。发展学生的逻辑推理素养，培养数学整体观。
 （1）探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式
  本节推导5个公式。为此设置了两个“思考”和三个“探究”，引导学生自主探索发现。获得新的公式，这些栏目给学生留下了较大的自主空间。
  比如第一个“思考”栏目。启发学生可以依据自己的思路设计本课时的推导过程。
  在“思考”或“探究”中，注重引导学生进行观察、比较，确定差异。寻找联系及联系的途径，这是数学思维的起点.是培养学生数学运算素养的途径。
 例如，比较cos（α+β）与cos（α-β），它们都是角的余弦，只是角的形式不同。但不同的角的形式从运算或换元的角度都有内在联系。因此基于差异可以建立联系，进行转化，教科书给出了从公式到的推理过程。并给出了建立联系的不同途径。正文中的方法是从运算的角度给出的，即将加法转化为减法：cos（α+β）=cos（α-（-β）），右边的边空中的提示是从换元的角度给出的：将公式中的β换成-β.
  又如，比较sin（α-β）与cos（α-β），它们包含的角相同，但函数种类不同。角的正弦与余弦能否建立联系呢？为此，在第一个“探究”中首先指出了实现正弦、余弦函数互化的诱导公式，帮助学生找到建立联系的途径。之后的推导就比较容易了：
  第二个“探究”也是先帮助学生找到建立联系的途径：根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，之后的推导留给学生完成。用以上思路作指导，以下过程是不难的：
  第三个“探究”也是开放式的，鼓励学生按照上述思路，作进一步的探索研究。将诱导公式与两角和与差的公式对比，可以发现在两角和与差的公式中，当α或β取特殊值时可以得到诱导公式。可以仿照前面的图，构建两角和（差）公式与诱导公式之间的关系。
 （2）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的初步应用
   此处安排了两个例题和一个“思考”，主要是通过简单应用。使学生熟记公式，掌握公式的结构及其功能。
   例3是运用和（差）角公式的基础题。目的是训练学生思维的有序性。逐步培养他们良好的思维习惯，教学中要有意识地对学生的思维习惯进行引导。
   例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件、明确要求，再思考应该联系什么公式、使用公式时要有什么准备、准备工作怎么进行等。
   同时，教学中还要让学生重视对思维过程的表述。不能只看最后结果而不顾过程的准确性、简洁性等，这都是培养三角倾等变换能力所不能忽视的。
   教学中，可以从两个方面对例3作适当延伸。
   一是对其中一部分条件作变式，如去掉α是第四象限的限制等。让学生考察对结果和求解过程会有什么影响：
   二是例3后面的“思考”。提出了sin（π/4-α）与cos（π/4+α）的结果相同是否具有一般性的问题，要求学生思考与证明。这些变化和延伸不仅要求正确使用分类讨论的方法，而且对表述也有更高的要求，教学中应当根据学生的具体情况作出适当的引导。
    例4要求全面理解公式，即要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式）两个角度使用公式。与正用相比。反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的逆问思维意识和较高的思维的灵活性，而且对公式要有更全面、深刻的理解。
    例4中的（1）（2）是简单的公式反用，目的在于培养逆向思维意识及思维的灵活性；解决（3）时，要学生孤立地考虑反用有难度，教学中应充分注意教科书的处理方法。事实上，在例3中出现过求tan（α-π/4），其求解过程为解决例4（3）作了铺垫。
  本文大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第一册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。

一、本单元教科书编写意图及教学建议
  本节内容可分为两部分，第一部分是两角和与差的正弦、余弦和正切公式：第二部分是简单的三角恒等变换.第一部分依然是基于圆的对称性进行研究，与5.3节相比较，5.3节中用到的是圆的特殊的对称性，此处用到的是圆的更一般的对称性，即旋转对称性。这种特殊与一般的关系，蕴含着诱导公式与两角和（差）公式之间的特殊与一般的关系。本部分一共11个公式。这11个公式的推导是发展学生逻辑推理素养的载体。
   第二部分则从两个角度进行简单的三角恒等变换，在这个过程中要注重发展学生的数学运算素养。
   在5.3节中.利用诱导公式对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值和证明的目的。本部分与之衔接，一方而要推导获得新的公式，另一方面要利用获得的公式进行恒等变形，习惯上称之为三角恒等变换。
单元重点、难点

重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式：两角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系.

难点：发现两角和（差）的三角函数与圆的旋转对称性间的联系；认识三角恒等变换的特点，并能解决一些三角恒等变换的问题。

二、本节教学目标


  1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.
  2.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.

三、教学重点、难点

重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；
难点：求值过程中角的范围分析及角的变换。

四、数学学科素养

1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；
2.逻辑推理：两角和与差公式的推导；
3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.
4.直观想象：两角和与差公式的推导框图；
5.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。
五、教学过程：见《研讨素材三》
 根据文末留言的要求，考虑到初三上高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。


— END —

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1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计
3.1.1 函数的概念（第1课时）教学设计
3.1.1 函数的概念 第1课时（2019版新教材）
3.1.1 函数的概念 第2课时（2019版新教材）
3.1.1 函数的概念 第2课时（2019版新教材）
3.1.2 函数的表示法第1课时（2019版新教材）
3.1.2 函数的表示法（第2课时）教学设计
3.1.2 函数的表示法 第2课时（2019版新教材）
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（2019版新教材）
3.2.2 函数的奇偶性（2019版新教材）
3.3 幂函数教学设计（2019版新教材）
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值教学设计
3.2.2 函数的奇偶性教学设计（2019版新教材）
第三章 函数的概念与性质 小结与复习 第1课时教学设计
第三章 函数的概念与性质 小结与复习 第2课时
4.2 指数函数 2课时，单元教学设计
4.1指数（第2课时）
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
4.1指数（第1课时）
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.5.1函数的零点与方程的解
4.4 对数函数（3课时，单元教学设计
4.3.2 对数的运算（2019版新教材）
4.3.1 对数的概念（2019版新教材）
5.1.1 任意角 （2019版新教材）
4.5.3函数模型的应用（第2课时）
4.5.3函数模型的应用（第1课时）
4.5.2用二分法求方程的近似解
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
5.3诱导公式
5.2 三角函数的概念
5.1.2弧度制
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1课时
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第2课时
5.4.3正切函数的性质与图象
5.5.1.1两角差的余弦公式

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