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#教育龙门阵
教育公平的大风扑面刮来，首当其冲的是重点中学。
重点中学都期望生源好，因为只有掐尖招生才能保证重点中学的超然地位。但是，近几年的教育改革，一大方向就是避免掐尖招生，让生源尽量平均分配。为此，各地纷纷采取了不同的方法，其中以上海和北京的方法最为典型。
上海的方法，主要是降低自主招生比例，改为名额分配综合评价录取。降低自主招生比例后，主要靠中考了。由于中考过于简单，所以即便是真学霸，也很有可能不小心在中考中出现失误，导致重点高中不能选出自己真正想要的优等生，也就增加了掐尖招生的难度。(相关阅读：政策突变，上海的重点高中遭受重创)
有人问我，北京会不会好一点？我的回答是：北京是天子脚下，一举一动都具有风向标作用，所以北京市重点高中遭受的创伤更重。
让北京市的重点高中们遭遇重创的，是一个月前北京市教委发布的一份通知《关于做好2022年1+3人才培养试验工作的通知》。
1+3人才培养试验工作，是北京市教委从2016年起推出的一项初升高新政，简单概括起来就是：有一部分学生可以从初二就进入高中，免去中考，就读4年（含初三一年）后再参加高考。
站在高中的立场上来看，什么样的学生才能被1+3项目选中呢？那肯定是优等生，因为所有高中都在渴求优质生源。
所以过去几年，1+3项目已经成为部分重点高中掐尖招生的重要途径，比如清华附中将台路校区、北大附中惠新东街校区、人大附中通州校区、人大附中丰台学校等。
但是，今年的1+3项目和往年相比大有不同，最大的区别是面试变摇号。通知中明确规定：
即便是长期在班上成绩垫底的学习困难户，也很可能运气爆棚摇号进入人大附中。虽然他可能连一元二次方程都不会解，如果他参加中考的话，十有八九只能去中职院校成为精神小伙或者精神小妹。
这样的学生，你觉得人大附中的老师们能不能教得会？估计这些参与1+3项目的重点中学们正在瑟瑟发抖。
讲真，这种拼运气的升学模式，真的让我难以理解。
我理解中的教育公平，应当是一分耕耘一分收获，让勤奋努力有天赋的学生进入心仪的高中，让孩子们明白付出才有收获的道理，而不是让他们期待着不劳而获，凭借运气寄希望于天上掉馅饼进入重点高中。
让一部分人靠摇号进入别人经过勤奋学习才能考进的重点高中，真不知道是在鼓励什么？
都看到这里了，点个赞再走吧。下面进入数学时间，或许是昨天高手们都很忙，所以评论区居然没有昨天题目的正确详细答案。所以我今天给出这道题的解题思路，解题所用知识不超过高中一年级。题目只针对竞赛生，不打算参加竞赛的孩子请忽略本题。
思考题（4星半难度）：
有一个从自然数映射到自然数的函数f，满足对任意的自然数a,b，都有：f(a2+af(b))=af(a+b)。已知f(1)不等于0，求f(8)可能的值。
解题思路：
令a=0,可得f(0)=0,
令a=1,则f(1+f(b))=f(1+b),
显然若f(b)=b,则满足原题目要求，
问题是，f(b)可不可能等于其它值？
为了回答这个问题，需要考虑f是否为单射。
下面我们就证明f是一个单射。
先证明如果f(n)=0,则n=0。
假设存在k>1,使f(k)=0,
则当a是大于0的自然数时，
af(a)=af(a+0)=f(a2+af(0))
= f(a2+af(k))=af(a+k),
可得f(a+k)=f(a),
特别的f(k+1)=f(1)不等于0。
由此可得对任意自然数n，f(nk+1)=f(1),
且f(nk)=f(k)=0,
故：f[(k+1)2+(k+1)f(1)]
=f(1+f(1))=f(1+f(k+1)),
则：(k+1)f(k+2)=f(1+f(k+1))=f(k+2),
由此可得f(k+2)=0,
故f(2)=f(k+2)=0,
类似前面推f(nk)=f(k)=0的过程，
可得f(2a)都是0。
于是f(4+2f(1))=2f(3)=0,
则f(3)=0,
而f(3)=f(1+2)=f(1),
这与f(1)不等于0矛盾，
因此如果f(n)=0,则n=0。
再证明f是一个单射。
只需考虑不为0的自然数，用反证法。
假设1≤a<b，满足f(a)=f(b),
任取一个自然数n,都有:
f(n2+nf(a))=nf(n+a),
f(n2+nf(b))=nf(n+b),
则f(n+a)=f(n+b),
由此可得f(a2+af(b))=f(b2+bf(a))，
f(a2+af(b))=af(a+b)，
f(b2+bf(a))=bf(a+b),
故af(a+b)=bf(a+b),
则f(a+b)=0,
可得a+b=0,
出现矛盾。
这说明f是一个单射。
因此，从f(1+f(b))=f(1+b)，
可得f(b)=b。
所以f(8)=8。
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