数学高考题、模拟题易错题例析

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【例一】函数

$\color{deepskyblue}f(x)=2^x\left|{\log_{0.5}}x\right|-1$ 的零点个数为。

【错解】函数 $f(x)$ 的零点可以看成是函数

$\color{steelblue}y=\left|{\log_{0.5}}x\right|$ 和函数 $\color{deepskyblue}y=0.5^x$ 的图象的公共点的横坐标，如下图所示。

根据图象，可得所求函数的零点个数为 $2$ ．

【分析】根据函数的图象，可以确定当 $x\geqslant 1$ 时，两个函数必然有且只有一个公共点；但是在区间 $(0,1)$ 上，我们并没有足够的证明说明两个函数只有一个公共点（有公共点是必然的，因为两个函数在 $x\to 0$ 和 $x\to 1$ 时相对位置发生了颠倒。

【改正】当 $0<x<1$ 时，考虑函数 $\color{seagreen}g(x)=2^x\ln x+\ln 2，$ 其导函数 $\color{tomato}g'(x)=\dfrac{2^x}{x}\cdot (1+x\ln x\cdot \ln 2),$ 而 $\color{orangered}1+x\ln x\cdot \ln 2>1-\dfrac{\ln 2}{\rm e}>0,$ 于是 $g(x)$ 单调递增，而当 $x\to 0$ 时， $\color{steelblue}g(x)\to -\infty；g(1)=\ln 2>0，$ 因此函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上有唯一零点。

【探究一】是不是当 $0$ $<a$ $<1$ 时，函数 $\color{seagreen}y={\log_a}x$ 和函数 $y=a^x$ 在区间 $(0,1)$ 上一定有唯一公共点呢？

答案是否定的，利用Mathematica，我们可以知道，当 $a=0.05$ 时，这两个函数在区间 $(0,1)$ 上有三个公共点，如下图所示。

那么，这两个函数在区间 $(0,1)$ 上的公共点个数是否还有其他可能？影响公共点个数的参数 $a$ 的分界点又是多少呢？

【探究二】设 $m=\dfrac 1a，$ 考虑函数 $\color{teal}h(x)=m^x\ln x+\ln m，$ 则其导函数 $\color{darkorange}h'(x)=\dfrac{m^x}{x}\cdot (1+x\ln x\cdot \ln m),$ 于是当 $\color{firebrick}\ln m\leqslant {\rm e}，$ 即 $\color{crimson}a\geqslant {\rm e}^{-\rm e}$ 时， $\color{crimson}h'(x)\geqslant 0,$ 于是 $h(x)$ 单调递增，所求的公共点个数为 $1$ ．

<p>当 $\ln m>{\rm e}，$ 即 $\color{tomato}0<a<{\rm e}^{-{\rm e}}$ 时，函数 $h'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有两个零点，设为 $x_1,x_2，$ 且 $\color{darkorange}0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}<x_2<1，$ 则函数 $h(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，在 $(x_2,1)$ 上单调递增。

考虑到 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $\color{brown}x\ln x\cdot \ln m+1=0$ 的两个解，所以 $\color{darkorange}\ln m=-\dfrac{1}{x_1\ln x_1}=-\dfrac {1}{x_2\ln x_2},$ 于是极值 $\color{purple}h(t)={\rm e}^{-\frac{1}{\ln t}}\cdot \ln t-\dfrac{1}{t\ln t},$ 其中 $t$ $=x_1$ 或 $t$ $=x_2．$

令 $\color{orangered}-\dfrac{1}{\ln t}=x，$ 可知考虑函数 $\color{mediumvioletred}\varphi (x)={\rm e}^{\frac 1x}\cdot x-{\rm e}^x\cdot \dfrac 1x.$ 即可。

利用极值点偏移，我们很容易证明:

当 $x<1$ 时， $\color{firebrick}\varphi(x)>0；$ 当 $x>1$ 时， $\color{firebrick}\varphi(x)<0；$ 因此可得函数 $h(x)$ 的极大值 $h(x_1)$ $>0，$ 极小值 $h(x_2)$ $<0，$ 因此函数 $h(x)$ 在区间 $\color{tomato}(0,x_1)，(x_1,x_2)，(x_2,1)$ 上各有一个零点，所求的公共点个数为 $3$ ．

【改编】若将题目改成：

函数 $\color{chocolate}f(x)=\dfrac{1}{a^x}\left|{\log_a}x\right|-1(0<a<1)$ 的零点个数为_______．

参考答案 $\color{darkcyan}\begin{cases} 2,\quad a\geqslant {\rm e}^{-{\rm e}},\\4,\quad 0<a<{\rm e}^{-{\rm e}}.\end{cases}$ 【例二】已知对任意实数 $x\in$ $[0,2]，$ 均有 $\color{tomato}|2x-a| \geqslant x-1$ 成立，求 $a$ 的取值范围。

【错解】题中的不等式等价于 $\color{purple}\begin{cases} 2x-a\geqslant 0,\\2x-a \geqslant x-1,\end{cases} \lor \begin{cases} 2x-a<0,\\ a-2x \geqslant x-1,\end{cases}$ 即 $\color{teal}\begin{cases} a\leqslant 2x,\\a \leqslant x+1,\end{cases} \lor \begin{cases} a>2x,\\a \geqslant 3x-1 ,\end{cases}$ 因此 $\color{orangered}a \leqslant 0\lor a\geqslant 5,$ 于是 $a$ 的取值范围是 $\color{chocolate}(-\infty,0]\cup [5,+\infty )．$ 结果错误：在平面直角坐标系中，画出线段

$\color{deepskyblue}y=x-1，x\in [0,2]．$

由于 $y=|2x-a|$ 的图象为“V”型，最小值点为 $x=\dfrac a2，$ 两翼的斜率分别为 $\pm 2，$ 于是可得 $a$ 的取值范围是 $\color{darkorange}(-\infty ,2]\cup [5,+\infty )．$

错误原因：任意量词不能分配给“或”，类似的，存在量词不能分配给“且”（想一想，为什么？）不等式的同解变形应该没有问题，那么问题就出在“因此”的位置，实际上是认为命题 $\color{purple}t_1:\forall x\in D,\left( p(x) \lor q(x)\right)$ 与命题 $\color{crimson}t_2:\left(\forall x\in D,p(x) \right) \lor \left(\forall x\in D,q(x)\right)$ 是等价的。但命题 $t_2$ 可以推出命题 $t_1$ ，反之则不然，也就是这样做可能会缩小参数的取值范围。

改正：需要把 $x$ 看作参数，解关于 $a$ 的不等式。

推理过程中的 $\color{chocolate}\begin{cases} a\leqslant 2x,\\a \leqslant x+1,\end{cases} \lor \begin{cases} a>2x,\\a \geqslant 3x-1 ,\end{cases}$ 可以讨论如下：

当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时， $\color{teal}3x-1 \leqslant 2x \leqslant x+1，$ 于是不等式等价于 $\color{chocolate}a \leqslant 2x\lor a>2x,$ 也即 $a\in\mathcal R；$

当 $1<x \leqslant 2$ 时， $\color{seagreen}x+1<2x<3x-1，$ 于是不等式等价于 $\color{teal}a \leqslant x+1\lor a\geqslant 3x-1.$ 如下图所示，当 $x$ 变化时，对 $a$ 的要求也在变化，我们需要求出可以满足所有要求的 $a$ 的所有可能取值。

可以求得 $a$ 的取值范围是 $\color{tomato}(-\infty ,2]\cup [5,+\infty )．$

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