笔者按：

计划编写一本旨在帮助初中生提高数学解题能力和学习方法的学习材料。大致包含12~16讲内容，若每周一次课的话，大概需要一个学期。可以将之纳入到日常的教学任务中，或者在学校的兴趣活动课里开展（自学也可以）。本材料中的大部分内容已经在某所初中试用过，我们将继续进行优化，暑期应能完成。另一方面，我们也打算把其中的案例分析做成微视频，同时，也会依托网络不断充实解题案例。

笔者想借此gongzhong号，做个调研，了解一下需求情况。

如果，您或您所在学校、教育局有此需求，比如：培训老师提高解题教学能力（专项能力培训，例如，叫做波利亚解题方法训练营），或者培训学生提高解题思维能力和掌握合适的学习方法，我们均可以开展合作。如果有出版社愿意出版的话，也可联系。（电话或加号：13725474175）

解题能力，就是解决问题的能力，学习的最终目标都是为了解决问题。

提高解题能力，主要依赖于扎实的基础知识，和良好的解题思维方法。同时，也需要不断积累常见的问题模型，以提高解题速度，降低某些问题的难度。

在目前教学中，对解题思维方面的训练总体上不够重视。

本书的重点在于帮助学生提高解题思维能力和改进学习方法。在教学理念上，主要采用历年来陈品德教授近些年一直倡导和推行的“以问题为导向”的教学范式和观点；在解题思维能力方面，主要参考著名数学家和教育家波利亚的解题思想，学习解题的过程，以及怎样发现解题的思路；在学习方法方面，我们主要借鉴著名数学家格罗滕迪克的观点，倡导做完一道题目之后，通过回溯和归类，不断强化基础知识、积累常见问题模型。

解题思维训练越早越有利于后面的学习。但是，从认知发展心理学的角度来说，孩子在10~12之后逻辑思维能力才相对成熟，过早开展有拔苗助长之嫌，因此在初中开始比较合适，初中也是学生的学习产生分化的关键时段；另一方面，思维训练需要以一定量的知识为基础，本材料的案例，定位于具有初中数学基础（初二）的学生才适合阅读。

提高提高解题能力的路径设想以及本书的功能定位，如下图所示。

解题，即解决问题。解题能力，也就是解决问题的能力。

解决问题，需要有相应的基础知识，也需要有良好的思维方法。知识和方法孰重孰轻，这里不做过多的讨论。只能说，在知识水平相同的情况下，思维方式好、思考能力强的人解题能力也强，这点大家应该都能认同。

如果问题所在领域的知识体系是完备的，对于一个合理的问题，理论上讲，只需要熟悉该领域中的基本定义、公理等基础知识，加上掌握了良好的思考方法，该领域的绝大部分问题都可以得到解决，典型的例子如欧式几何，只是求解过程的复杂程度有所不同。

中学数学问题，可以认为它所在的知识体系是完备的。因而，从理论上讲，只需要掌握书上的基本知识，包括为数不多的定义、公理和少量定理，并且掌握良好的思维方法，绝大多数的问题都可以得到解决。所以，学校教学中总是特别重视基本知识和基本技能的学习，这就是原因所在。

但是，这只是理论上的能够解决。现实中，对于解题者而言，存在一个解题速度的要求，只有在限定的时间内解决才有意义，比如考试。即使对于现实中的问题，通常也会有时间要求。而且，如果问题复杂了，虽然从理论上说能够解决，但思维的步骤和深度也不太容易发现和把握的。

因此，为了提高解题速度，在掌握基本知识之外，还需要熟悉一些常见的问题模型，他们对于提高解题速度、降低问题难度是有帮助的。掌握了一些常见问题模型相当于是站在一个比基础知识更高的平台上来解决问题，换句话说，你不必要凡事都从1+1（起点）算起，从半路出发，速度总是会快些、难度也会减轻些。

综上所述，对于提高解题能力，基础知识和解题思维能力最为重要，因为，利用它们，从理论上来说，可以解决绝大多数的问题；积累常见问题模型其次，因为，碰到与问题模型类似的问题时，解题速度能够提高，原来复杂的问题也能够变得简单一些。

在目前教学中，对提高思维能力方面的训练总体上不够重视，这从常见的教学方法表征上能够见到。如：

（1）在教学中，总是期望通过大量练习来强化基础知识，以应对基本问题和中等难度的考试内容，但是，低层次的反复练习通常会损伤学习的积极性，扼杀他们的学习兴趣；

（2）过于重视解题技巧、问题模型的积累，以应对考试中的难题（比如中考中的压轴题），过于重视解题技巧容易导致弄巧成拙，变成习惯性地碰到问题就想着套用模型，问题一旦有变，反而不会思考了。

无论哪种情形，最终都表现为大量刷题（问题的数目是无限的，问题模型也是很多的）。盲目提高刷题量，解题能力并不会因之成正比例地提高，因而存在着付出和收获是否匹配的问题。刷题多，意味着要求付出的时间多，拼时间容易导致恶性竞争（陷入“内卷”）。同时，反复地刷题，会不断降低对于该学科的学习兴趣，长期以往，得不偿失。

改善这种状况，数学老师就有着很大的机会。“如果他把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错失他的良机。相反地，如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法。”（波利亚，《怎样解题》）

“双减”政策的重点就是要减少学生的盲目刷题。减负增效，是目前教学变革的重要目标之一。

本书的重心在于提高解题思维能力和学习方法。在解题思维能力方面，主要参考波利亚的解题思想，学习解题的过程，以及如何帮助找到解题思路的那些典型有用的思维活动；在学习方法方面，倡导做完一道题目之后，通过回溯和归类，不断强化基础知识、积累常见问题模型。

（1）解题思维

波利亚解题思维的核心在于，用一种自然的、普遍的、符合常识且合乎逻辑的问题和建议帮助解题者找到解题的思路。

本书中的解题案例是这样来处理的，目标不是告诉学生一个答案，而是采用思维对话的方式，分析解题的思路是如何形成的。思维对话的过程，就像是在展示他自己在解题的过程中，如何通过内心的对话活动找到解题思路。也可以把它看成是老师在引导学生解题过程中的对话活动，老师是如何通过问题和建议，引导学生找到解题思路的。

我们认为，只有这个解题思维过程是自然的，普遍的、符合常识且合乎逻辑的，这种思维方式才能逐渐转变为学生的思维习惯。灵机一动的、取巧的方法只能被欣赏，无法学会。

（2）学习方法

在学习方法上，我们强调每做一道题题目，都应该有超出这一道题本身的收获。主要体现在做完一道题目之后的反思：从这道题目中学到了什么？

未能成功找到解题思路的关键思维障碍在哪里？

完成这道题目，需要什么知识基础？

这道题目当中，能不能提炼出某个问题模型？

在本书中，我们将以初中数学的中考压轴题为案例，一以贯之地，渗透上述关于解题思维和学习方法的训练，最终使之内化为学生的思维习惯。

解题能力的提高，主要依赖于扎实的基础知识，和良好的解题思维能力。同时，也需要不断积累常见的问题模型，有利于提高解题速度，并且降低某些问题的难度。

本材料的学习，重点在于解题思维方法的训练和一种学习方法的培养，但是，这些方面的培养必须以实际的案例为依托，因此，通过本材料的学习也能够积累一定的常见问题模型、加深部分知识的学习。

本材料的目的在于补充日常的教学并为之赋能，而不是喧宾夺主，替代学校中的日常教学活动。可以将之作为每周一次、总共一个学期的学习和训练材料。但是，材料中的案例和练习有限，不能期望仅仅学完本材料中的内容，就能让解题水平得到大幅度提高。我们期待的是，读者能够将从本材料中学到的解题思维和学习方法用到日常的学习中去，只有这样，才能明显地感受到解题能力得到了提高，解题水平得到提升。

解题活动贯穿到整个学习生涯中，相对于知识积累，解题思维和学习方法往往更加重要。越早接受解题思维的训练，越有利于后来的学习，从这个角度来说，越早开展越好。

但是，根据认知发展心理学的研究成果，普遍认为，人类的逻辑思维能力在10~12岁左右之后才趋于成熟，因而过早开展逻辑思维的训练，对于大多数孩子来说（天才除外），有拔苗助长之嫌。

另外，考虑到任何思维活动必须有一定的知识积累作为基础。因此，将本文的读者对象，定位于具有初二下的数学知识的读者。

本书以中考压轴题的分析和练习作为载体，主要原因在于，这些题目通常都是经过精心设计的，具有一定的难度和综合性。据统计，往往只有不到10%的中考学生，能够完成最后的两道压轴题。

但本书的内容，并不只是为欲突破中考压轴的少数学生准备的，它适合中等层次以上的大多数学生参阅。俗话说，谋其上者得其中，谋其中者得其下。适量超出已有的认知水平进行练习，是有利于学习进步的。在挑战综合性问题的过程中，实质上也以一种更有趣的方式巩固了相应的基础知识，相比较低层次的反复练习，更加有效。另外，提高解题思维和掌握良好的学习方法，还是为了日常的学习和将来的学习赋能。

本文的另一部分读者对象是面向中学数学老师，希望能够给他们带来一点启发，应用到日常的教学活动中去。

另外，考虑到讲述解题过程的文字材料，阅读起来往往不如观看音视频更加轻松。因此，对于书上的每一个解题案例，我们将制作相应的解题视频（微课）。另一方面，考虑到书上的案例可能数量不够，我们将通过网络不断增补案例和微视频材料。这些都是网络时代带来的优势，使得本文的内容能够不断生长。

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