胜出2023：数学解答题模拟训练与解析

收录于话题

#数学#客观题#清华大学#北京大学#考题

说明：本gongzhong号中较长的公式，手机上查看时，可直接在触摸屏上左右拨动，完整查阅。

【题一】

对正整数 $n ，$ 记 $\color{orangered} {I_n} = \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\} ， {P_n} = \left\{\dfrac{m}{\sqrt k }\mid m \in {I_n},k \in {I_n} \right\} ．$ 1、求集合 ${P_7}$ 中元素的个数。

2、若 ${P_n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为"稀疏集"。求 $n$ 的最大值，使 ${P_n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并。

【解析】

1、本题考查对新定义的理解，关键在于考虑清楚可能重复的计算结果有几种情况。

当 $k = 4$ 时， $\color{teal}\left\{ {\dfrac{m}{\sqrt k }\mid m \in {I_7}} \right\}$ 中有 $3$ 个数与 ${I_7}$ 中的 $3$ 个数重复，因此 ${P_7}$ 中元素的个数为 $\color{chocolate}7 \times 7 - 3 = 46 ．$ 2、本题考查推理与论证，通过试探得到可能的答案再进行论证是解决问题的关键。

注意到数字 $1,$ $3,$ $6,$ $10,$ $15$ 无法分成两个不相交的“稀疏集”，故可尝试证明答案为 $14 ．$

$n$ 不超过 $14 ．$ 即证明：当 $n \geqslant 15$ 时， ${P_n}$ 不能分成两个不相等的稀疏集的并。若不然，设 $A,B$ 为不相交的稀疏集，使 $\color{mediumvioletred}A \cup B = {P_n} \supseteq {I_n} ．$ 不妨设 $1 \in A ，$ 则因为 $1$ $+ 3$ $= {2^2} ，$ 故 $3 \notin A ，$ 即 $3 \in B ．$ 同理， $6 \in A,$ $10 \in B ，$ 又推得 $15 \in A ，$ 但 $\color{steelblue} 1 + 15 = {4^2} ，$ 这与 $A$ 为稀疏集矛盾。

$n$ 可以取 $14 ．$ 即证明 ${P_{14}}$ 符合要求。

当 $k = 1$ 时， $\color{crimson} \left\{ \dfrac{m}{\sqrt k }\mid m \in {I_{14}} \right\} = {I_{14}}$ 可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取 $\color{deepskyblue}\begin{split}{A_1} & = \left\{ {1,2,4,6,9,11,13} \right\} ,\\ {B_1} & = \left\{ {3,5,7,8,10,12,14} \right\},\end{split}$ 则 ${A_1},{B_1}$ 为稀疏集，且 $\color{darkcyan}{A_1} \cup {B_1} = {I_{14}}.$ 当 $k = 4$ 时，集合 $\color{purple} \left\{\dfrac{m}{\sqrt k } \mid m \in {I_{14}}\right\}$ 中除整数外剩下的数组成集合 $\color{seagreen}\left\{ {\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}, \cdots ,\dfrac{13}{2}} \right\},$ 可求解为下面两稀疏集的并： $\color{orangered}\begin{split}{A_2} & = \left\{ {\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{2},\dfrac{11}{2}} \right\} ,\\ {B_2} & = \left\{ {\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2},\dfrac{13}{2}} \right\}.\end{split}$ 当 $k = 9$ 时，集合 $\color{firebrick} \left\{ \dfrac{m}{\sqrt k }\mid m \in {I_{14}} \right\}$ 中除正整数外剩下的数组成集合 $\color{brown}\left\{ {\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3}, \cdots ,\dfrac{13}{3},\dfrac{14}{3}} \right\},$ 可分解为下面两稀疏集的并： $\color{mediumvioletred}\begin{split}{A_3} & = \left\{ {\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3},\dfrac{10}{3},\dfrac{13}{3}} \right\} ,\\ {B_3} & = \left\{ {\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3},\dfrac{8}{3},\dfrac{11}{3},\dfrac{14}{3}} \right\}.\end{split}$ 最后，集合 $\color{tomato} C = \left\{\dfrac{m}{\sqrt k } \mid m \in {I_{14}},k \in {I_{14}},~\text{且}~k \ne 1,4,9 \right\}$ 中的数的分母均为无理数，它与 ${P_{14}}$ 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令 $\color{crimson}\begin{split}A & = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup C ,\\ B & = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3},\end{split}$ 则 $A$ 和 $B$ 是不相交的稀疏集，且 $\color{seagreen}A \cup B =P_{14} ．$ 综上可知，所求 $n$ 的最大值为 $14 ．$

【题二】

如下图所示，椭圆的中心为原点 $O ，$ 长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e$ $= \dfrac{\sqrt 2 }{2} ，$ 过左焦点 ${F_1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点， $\left| {AA'} \right|$ $= 4 ．$

1、求该椭圆的标准方程。

2、取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P' ，$ 过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外。若 $PQ$ $\perp P'Q ，$ 求圆 $Q$ 的标准方程。

【解析】

1、本题考查椭圆的标准方程，利用椭圆的基本量表达条件求解即可。

设椭圆方程为 $\color{mediumvioletred} E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 （ a>b>0 ），$ 则根据题意，有 $\color{teal}\begin{cases} \dfrac{2b^2}a=4,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=2\sqrt 2,\end{cases}$ 于是所求椭圆的标准方程为 $\color{chocolate}\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}8=1.$ 2、本题考查圆与椭圆的位置关系，通过联立将公共点转化为方程组的解加以求解即可。

设 $Q(m,0) ，$ 则圆 $Q$ 的半径 $r(m)$ 为椭圆 $E$ 上的点到 $Q$ 点距离的最小值。

设 $M(x,y)$ 是椭圆 $E$ 上一点，则 $\color{tomato}\begin{split} MQ^2& =(x-m)^2+y^2\\ & =(x-m)^2+8\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\\ & =\dfrac 12(x-2m)^2+8-m^2,\end{split}$ 于是 $\color{purple}r(m)=\sqrt {8-m^2},|m|<2.$ 此时 $P,P'$ 的横坐标均为 $2m ，$ 进而 $\color{deepskyblue}\sqrt {8\left(1-\dfrac{(2m)^2}{16}\right)}=|m|\iff m=\pm \dfrac{2\sqrt 6}3,$ 进而圆 $Q$ 的标准方程为 $\color{mediumvioletred}\left(x\pm\dfrac{2\sqrt 6}3\right)^2+y^2=\dfrac{16}3.$

长按图片识别gongzhong号，免费获得丰富学习资料

End

现在（或长按识别ErWeiMa），报名参加夏令营

北京大学2023年强基计划招生简章【含附件】

清华大学2023年强基计划招生简章发布

化学拔尖计划：元素化学解题经典例析

数学能力强化：平面向量和空间向量基本练习

北大清华录取喜报~博雅鸿鹄书院

化学竞赛生精进：电化学经典例析

230129英语尖子生：常用短语应用示例

230127英语尖子生：常用短语应用示例

阅读与思考：什么人害怕数学?为什么害怕?

230115北清预科训练生：英文写作（书面表达）模拟训练与解析

目标2023：高中数学压轴题模拟训练与解析

函数零点问题的导数处理法专题训练一

函数零点问题的导数处理法专题二

第二届丘成桐女子中学生数学竞赛笔试试题例析

目标2023：高中数学高分突破压轴题模拟训练与解析

三个点电荷间的暧昧难题

阅读与思考：大马哈鱼的天性

化学竞赛：分子结构考题经典例析

22117北清预科训练生：英文写作（书面表达）模拟训练与解析

高中数学最值有关问题模拟与解析22116

数学解答题模拟考题经典例析

数学能力强化：概率与统计专题基本训练

北清预科训练生：数学不定项选择题例析

数学能力强化：复数、极坐标专题基本训练

数学解答题模拟考题经典例析

北大讲堂：不动点法求数列通项公式专题例析

2317 北清预科训练生：英文写作（书面表达）模拟训练与解析

数学尖子生：比较概率大小问题经典例析

语文高分：迟子建作品阅读理解训练附参考答案

英语尖子生：常用短语应用示例