初中数学：历年【各地真题专练】含答案，中考前抓紧查漏补缺！

初中数学?内容

距离中考没有多少时间了，不知道同学们新知识学的怎么样了？一些重点内容有没有掌握到位呢？平时老师出的练习大家有没有练习，如果题目都能做对，那大家的基础都还是不错的，考试没问题。今天王老师和大家分享的是初中数学：历年【各地真题专练】含答案，中考前抓紧查漏补缺！

1、如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

①求证：△AGE≌△AFE；

②若BE=2，DF=3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

【分析】（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；

（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′²=ND²+DM′²，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．

【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中，AG=AF；∠GAE=∠FAE；AE=AE；

∴△GAE≌△FAE．

②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，

∴AB=AH，GE=EF=5．

设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．

在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF²=FC²+EC²，即（x﹣2）²+（x﹣3）²=25．

解得：x=6．

∴AB=6．

∴AH=6．

（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′²=ND²+DM′²．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中，AM=AM′；∠MAN=∠M′AN

∴△AMN≌△ANM′．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN²=ND²+BM²．

【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．

2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.

（1）求证：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=∨3/4求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线.

考点：三角形的相似，三角形的全等，圆的切线的性质与判定定理，三角形的面积公式。

解析：（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，

又∠ABC=30°，

∴∠ACB=60°，

又OA=OC，

∴△OAC为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°，

∵AF为⊙O的切线，

∴∠OAF=90°，

∴∠CAF=∠AFC=30°，

∵DE为⊙O的切线，

∴∠DBC=∠OBE=90°，

∴∠D=∠DEA=30°，

∴∠D=∠CAF，∠DEA=∠AFC，

∴△ACF∽△DAE；

（2）∵△AOC为等边三角形，

∴S_△_AOC=∨3/4OA2=∨3/4，

∴OA=1，

∴BC=2，OB=1，

又∠D=∠BEO=30°，

∴BD=2∨3，BE=∨3，

∴DE=3∨3；

（3）如图，过O作OM⊥EF于M，

∵OA=OB，∠OAF=∠OBE=90°，∠BOE=∠AOF，

∴△OAF≌△OBE，

∴OE=OF，

∵∠EOF=120°，

∴∠OEM=∠OFM=30°，

∴∠OEB=∠OEM=30°，即OE平分∠BEF，

又∠OBE=∠OME=90°，

∴OM=OB，

∴EF为⊙O的切线.

3、现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是OM=ON；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．

【解答】

解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；

（2）仍成立．

证明：如图2，连接AC、BD，则

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°

∵∠MON=90°

∴∠BOM=∠CON

在△BOM和△CON中：∠OBM=∠CON；BO=CO；∠BOM=∠CON；

∴△BOM≌△CON（ASA）

∴OM=ON

（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°

又∵∠C=90°

∴∠EOF=90°=∠MON

∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中：∠OEM=∠OFN；∠MOE=∠NOF；OM=ON；

∴△MOE≌△NOF（AAS）

∴OE=OF

又∵OE⊥BC，OF⊥CD

∴点O在∠C的平分线上

∴O在移动过程中可形成线段AC

（4）O在移动过程中可形成直线AC．

【点评】本题主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．

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顾

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