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离2023高考越来越近, 最近我会不定期分享我最近一年的原创命题.
如果您要采用我已经发出来的原创题, 欢迎在后台交流使用的经验、学生的反馈等等.
预测题的作用并不是预测一模一样的题, 更重要的是体现我认为的命题趋势.所以, 这里不仅仅预测2023年的趋势, 也会预测未来几年的趋势.
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“21. (12分)”表示这一题如果作为新高考全国卷的试题, 会在第21题出现, 满分是12分.
2023高考数学预测(2)——统计公式推导
本题出自我的原创2023年高考数学预测模拟卷，
链接：【Fiddie原创】原创2023年高考模拟题
【Fiddie原创】21.(12分) 某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到)．
（2）设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．
定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”(精确到)．
（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．
参考答案
评分标准：(1)2分，(2)8=2+6分，(3)2分.
| 背景 | 字数 | 考点 |
|---|
| 成绩与排名的相关系数 | 300(粗略) | 相关系数公式推导 |
(1)由题意, 这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
(2)(i)证明: 因为和都是的一个排列, 所以
从而和的平均数都是.
因此,
同理可得
由于
所以
这就完成了证明.
(ii)由题目数据, 可写出与的值如下: (写表格不是必须的)
所以, 并且
因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是
(3) 以下答案都可以，只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可.
主要关键词：“对离群值/异常值不敏感”、“与具体的数值无关，只与排名有关”等等，如果有其他合理的解答，酌情给分.
①斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
②斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数, 与具体的数值无关, 只与排名有关. 如果一组数据有异常值,
但排名依然符合一定的线性关系, 则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系.
以下答案不得分：
①斯皮尔曼相关系数比样本相关系数更容易计算.
②斯皮尔曼相关系数的公式比样本相关系数更简单.
③斯皮尔曼相关系数带人名，看着更“高大上”、更牛逼.
注： (1)在第(ii)问中, 如果排名和都写成了从小到大排列(即分数最低的同学排名是第1名),
最终也能算出结果为, 此时也可以给分.
(2)计算小技巧, .
(3)我们在课本上学的样本相关系数其实叫做“皮尔逊相关系数”，所以“不得分”的答案③是荒谬的.
试题评析
2021年新高考全国Ⅰ卷的第8题考察了概率统计里面的最基本的“独立”概念理解, 出题人可能意识到了同学们背题背得比较多,
却忽略了对最基本概念的理解, 于是把这个比较简单的选择题放在了第8题, 照样难倒了不少同学.
【2021新全国Ⅰ, 8】 有6个相同的球, 分别标有数字1,2,3,4,5,6,
从中有放回的随机取两次, 每次取1个球, 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”, 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”, 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”, 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”, 则
而2022年全国乙卷第19题、新全国Ⅰ卷第20题都考察了公式的推导.
其中，乙卷第19题涉及到相关系数的推导，很多同学平时做题就没有重视这一块，都是套公式完成的，而并没有花时间去尝试推导，导致这道题丢分严重。
而新全国Ⅰ卷第20题考察了条件概率的推导，它并不难，两三行就能写完，但是大部分同学没拿到这部分的4分，非常可惜。
所以我在这里建议同学们一定要重视定义和公式推导（尤其是想冲120分的同学），否则很容易吃亏。
如果想理解一个公式，最好的办法就是自己手动推导一下。这并不会花费非常多的时间，而且推导一次能大幅度加深印象。
本题答案中
加一项且减一项的处理技巧，是在推导最小二乘法的公式时有涉及的，以人教A版教材（选择性必修第三册109页）为例：
第(3)问结合计算结果来谈谈对“斯皮尔曼相关系数”的理解，这是有一定开放性的题目，往年也考过（例如2021年新高考全国Ⅱ卷第21题）：
【2021新全国Ⅱ, 21】 假设开始时有一个微生物个体(称为第0代),
该个体繁殖的若干个个体, 形成第1代, 第1代的每个个体繁殖的若干个个体, 形成第2代, …….
假设每个个体繁殖的个体数相互独立且分布列相同, 记第1代微生物的个体总数为,的分布列为.
补充说明
我在去年给出了一道最小二乘法的定义题：
例题 某公司在年的销售额 (万元)如下表, 根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为.
则当关于的表达式取最小值时, _________________.
答案：4067. 相关评析参见2022高考数学预测(3) 最小二乘法的最根本定义
据使用者反映，甚至很多拔尖的学生也没能做出上面这道题，他们不理解这道题究竟是想表达什么意思，这反映了学生普遍对基本定义的忽视.