——再议解决中考压轴题的通法、特法和模型策略

王 桥

现在，各地都已经进入了紧张的中考前的复习冲刺阶段。随着近两年河南中考数学命题风格的改变，河南各地一模、二模的试卷也逐渐推送了出来。昨天有幸受邀参加了某地区的线上中考教研，顺便交流了几套河南各地的模考题，感觉好题层出不穷。咱们今天先分享两道很经典的模考小题：

例1、（2022年南阳南召一模）如图,在四边形CDEF中,∠C=∠D=90°,CF+DE=CD=4,G为DE的中点,点H在EF上，且EH=1/4EF,连接GH，则GH的长为_________．

【策略1】——构造方程法：

根据“斜化正”策略——斜线段可以通过作铅垂线段，把斜线段整合到直角三角中，并运用勾股定理构造方程来求线段的长。

如图，过点H作MN⊥DE于M，交CF的延长线于点N，则MN⊥FC。则易知△EMH∽△FNH，∵EH=EF，∴NF=3EM，且NH=3MH，则HM=1，HN=3。设ME=x，则NF=3x。设MG=y，∵G为DE中点，则ED=2x+2y。∵DE+FC=CD=4，所以FC=4-DE=4-2x-2y。∵MD=NC，即DE-ME=FC+FN，∴2x+2y-x=4-2x-2y+3x（这是“根据线段之间的和差关系构造方程”），整理得y=1，即MG=MH=1，∴GH=√2；——关于“构造方程法”，详见《春季攻势》第3讲“构造方程法”及《冲刺十招》第2讲“无中生有话‘构造’”

【方法2】：——构造中位线

根据“中点策略”，遇到中点，常想“构造中位线”及“（类）倍长中线”。

如图，找出EF的中点M，连接DM并延长，交CF于点N。则易证明△DEM≌△NFM，∴DE=NF，且DM=NM。∵DE+CF=CD=4，∴NF+CF=CD=4，即△NCD为等腰直角三角形，则DN=4√2，∴DM=2√2，∵EF：EH=1：4，M为EF中点，则EH=HM，又因为EG=GD，∴GH=1/2DM=√2.——关于“中点策略”，详见《冲刺十招》第5招“胸有成竹会‘建模’”。

【方法3】：——极端化思想

根据“极端化策略”，“任意图形用特值”！

观察到题目中的线段满足FC+DE=CD=4这个条件，显然点E和F是两个不确定的点，即四边形EFCD的形状具有“任意性”的特点。但是，当满足G是ED的中点、H是EF的4等分点时，让求GH的长，显然这个GH的长是个定值。我们可以运用极端化思想，进行特殊化处理。

如图1，当F和点C重合时，此时DE=DC=4，若M为CE中点，则DM⊥EC，则EM=DM=2√2，∵EH：EF=1：4，∴H为EM中点，则GH=1/2DM=√2.

如图2，当E和点D重合时，E、G、D三点重合。则GH=EH=DH=1/4DF=√2.

如图3，DE=FC=2，即四边形CDEF为矩形时，显然EG=ED=1，则GH=√2.——关于“极端化策略”，详见《冲刺十招》第1招“绝境逢生用‘特值’”。

《春季攻势》以梳理知识为主线，建立方法系统为主要目的而设计的中考一轮培优系统！

1、不知道命题人画图标注字母时，不是习惯的从ABCD开始标注，而是直接弄了个CDEF，知识感觉有点小奇怪而已?

2、据说这个梯形的姊妹梯形（上下底的和等于与底不垂直的腰的梯形）还有许多神奇的性质，也经常在中考中出现（有时间咱们再探讨）......

例2、（2022驻马店二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则FD+FE的长度最小值为______．

显然，这道题目属于“几何最值”问题。但是，究竟是属于哪一类“几何最值”问题呢？第一直觉，感觉有点像将军饮马模型，但仔细看下，这个“FD+FE”中，居然有两个动点F和E，显然不是将军饮马模型。突破口在哪里呢？

但是，这个已知条件“∠ABE=∠BCE”比较“抽象”——这就需要用到“条件转化”——把抽象的条件、隐含的条件转化为形象的条件、显像的条件！其实能够看出来“∠ABE+∠CBE=90°”问题就迎刃而解了——有时候，越是简单的地方越是容易掉以轻心。∵∠ABE+∠CBE=90°，且∠ABE=∠BCE，则∠BCE+∠CBE=90°，即∠BEC=90°，根据“辅助圆策略”，点E的轨迹为以BC为直径的圆弧，如图——此时，即可大致判断可能为“点圆距离”类“几何最值”！

但是，F这个动点怎么处理呢？“对称思想”来了！如图，做出点D关于AB的对称点M，易知DF=MF，则FD+FE=FM+FE——妥妥的“点圆距离”！

点圆距离最值，看我“一箭穿心”！如图，找出BC的中点O，连接MO，交AB于点F，交以BC为直径的圆O于点E，则DF+FE的最小值=MF+FE=ME=OM-OE的长！

作ON⊥AD于N，则易知ON=4，MN=6，则MO=2√13，∴ME=OM-OE=2√13-2，即FD+FE的长度最小值为2√13-2。——关于“几何最值”，详见《春季攻势》第17讲“几何最值”及《冲刺十招》第5讲“胸有成竹会‘建模’”！

茫茫题海，遨游题海，只可叹题海无边，题海茫茫何处是岸？

未来已来，中考已来，幸有我十招攻势，秀丽风景这边独好！

压轴题、高频题、经典题，热点题，精选题题题精彩；

讲模型、讲思想、讲通法、讲特法，好方法招招管用！

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《冲刺十招》是目前唯一一本以数学思想方法为主线而设计的二轮冲刺培优系统！

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《冲刺十招》是连续四年的全国中考数学二轮备考研讨会的赠书，其实战性得到了众多专家、教师和学生的认可。

《冲刺十招》作为第四届全国中考数学二轮备考研讨会的研讨资料，试图从数学思想方法的角度尝试建立二轮备考的培优方案。参会老师的赠书和已经预定的已经寄出，请耐心查收（近来受疫情影响，个别地方的物流可能会耽误些时间，请耐心等待）！

与本文相关内容：

1、关于召开“2022中考数学二轮备考研讨会”的通知

2、挑战中考压轴题名师团开始纳新

3、思想有高度 思维有广度 思考有深度 解题有出路

4、关于召开“全国第三届中考数学二轮备考研讨会”的 通 知

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7、二轮备考复习研讨会印象

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9、中考来了，您会“二轮”吗？

10、十招来了

11、“十招”中没有收录的招术 ——从一道小题再看和“建模法”“面积法”

12、《冲刺十招》又来了......

13、小议以静制动

14、看我“一箭穿心” ——几何最值之“点圆距离”和“圆线距离”

15、动点问题？旋转问题？轨迹问题？瓜豆原理？构造手拉手？几何最值？

16、极端化思想？——从一道压轴小题看几何最值之“点线距离”小议直角三角形之知识系统和方法系统

17、从一道几何最值小题说开去

18、“交规定位法”、“构造半角模型法”和“斜化正与构造方程法”一题

19、我的名师缘（六） ——我和张宇清老师

20、我的名师缘（五）——我和周继光老先生

21、我的名师缘（三）——我和田献增

22、我的“名师”缘——我和姚万里老师

23、第四次修订《冲刺十招》感悟

24、仍是“手拉手” 难逃“瓜和豆” ——“确定轨迹”“构造函数”“构造方程”“数形结合”和“分类讨论”一个都不能少

25、动点问题？旋转问题？轨迹问题？瓜豆原理？构造手拉手？几何最值？极端化思想？——从一道压轴小题看几何最值之“点线距离”

26、重构“手拉手” 又见“瓜和豆” ——小议矛盾转化

27、第三届模型教学研讨会展播 ——第四季：动点与瓜豆

28、续王桥老师的“又见两道“瓜豆”好题”

29、四谈“种瓜得瓜，种豆得豆”——又见两道“瓜豆”好题

30、也谈“种瓜得瓜，种豆得豆”（1） ——“轨迹问题”与“轨迹思想”

31、再谈“种瓜得瓜，种豆得豆”（2） ——“轨迹问题”与“轨迹思想”

32、三谈“种瓜得瓜种豆得豆”（3） ——一道“双动点双轨迹”极值问题的探讨

33、偶遇“算法转化”

34、重构“手拉手” 又见“瓜和豆” ——小议矛盾转化

35、从一道小型压轴题体验“矛盾转化”

36、孩子，把你的手给我

37、小议转化思想和极端化思想——从两道动点最值问题谈起

36、月上柳梢头，人约黄昏后！第四届二轮备考研讨会第4天精彩预告.......

39、2022第四届全国中考数学二轮备考研讨会第3天精彩预告.......

40、第四届全国中考数学二轮备考研讨会今晚开幕

41、二轮备考研讨会中不一样的风景——看马学斌老师对徐方瞿教授分享压轴题目的精彩解析

42、月上柳梢头，人约黄昏后！第四届二轮备考研讨会第4天精彩预告.......

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45、小议面积与面积法

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