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7173合计件数11356193318442121100经计算，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判表示相应事件的频率）：①；②；③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备的性能等级；（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据表格中的数据可得求出、和，结合题意即可得出结论；（2）根据二项分布即可求出，根据超几何分布可得的分布列，进而求出即可．【解答】解：（1）由表格可知因为设备的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06．①由题意可知，于是，②可能的取值为0、1、2由题意可知，的分布列为012故．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．20．（2022?荔城区校级模拟）已知矩形纸片满足为中点，将该纸片沿对角线折成空间四边形，使得二面角的大小为．（1）求三棱锥体积的最大值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】（1）根据体积比例关系，计算出三棱锥的高和底面积，即可求解．（2）建立直角坐标系，算出平面的法向量，然后根据直线方向向量和法相量的交角公式计算即可．【解答】解：（1）由题意得：三棱锥的体积，当时，取最大值，在矩形中，过作交于点，此时，三棱锥的高的最大值，所以三棱锥体积的最大值，（2）过作，垂足为，过作，垂足为，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设平面的法向量为取，得，设直线与所成角为，．【点评】本题考查线面角，考查学生的运算能力，属于中档题．21．（2022?荔城区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）当时求的取值范围；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的最值【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】（Ⅰ）先求出，分和两种情况，分别利