题目
东南赛高二组第一天第 题
关于 的实系数方程 有三个正实根, 且三根之和不大于 1 . 证明:
说明
我很有幸作为学校的 “观察员” 参加了本次比赛. 这道题的完成度很高, 大部分人通过韦达定理和均值不等式得到了本题解答. 官方提供的参考答案中给出的两种解法, 解法一就是大家采用的方法, 而解法二所用的 Ky-Fan 不等式看起来有点复杂, 却似乎提示了我们这个结论是怎么得到的. 本文试图小题大做, 推广到一般情况, 并抄录 Ky-Fan 不等式的一个证明. 不当之处请各位斧正.
解法二的前半部分
假设方程的三个正根为 , 则
因此有, 原题等价于证明:
两边, 上述不等式等价于 利用韦达定理并注意到正负性, 原命题等价于不等式 式左右两侧其实正好是以及这两组数的几何平均值之比与算术平均值之比, 这两个比值的关系便是本题的背景 —— Ky-Fan 不等式.
本题的一般情形
在 以及 的情形下我们可以证明以下命题成立：
证明
数学归纳法. 先证明命题在 的情形, 注意到, 故此只须证明:
两边同时减去 整理可得不等式 注意到 , 这表明当时, 命题成立.
假设命题对于 , 成立, 也即对于, 以及 有不等式
成立, 则当 时,
最后一行不等式仿照 时的情形进行处理即可. 这样就证明了命题对一切 , 是成立的.
最后进行反向归纳. 若命题对于 成立, 令 , 则有
两边消去 后开方 次方即可得到结论.
时命题也成立. 从而命题得证.
Ky-Fan 不等式及其证明
Ky-Fan不等式于 刊出. 提出者为樊畿 (念 fan-ji)（1914年9月19日—2010年3月22日），浙江温州人，出生于杭州. 数学家，原美国普林斯顿高级研究员、加州大学等校数学教授. 大家可以搜索他的信息. Ky-Fan 不等式有很多不同的版本.
(Ky-Fan 不等式) 是在 上的实数, 且 有
证明: 这里给出的是加权的情形, 用加权琴生不等式证明. 构造函数 , 它的二阶导数 , 因此 , 都有, 这是一个严格凸函数, 因此由加权琴生不等式有
带入 的表达式中再利用 的单调性即可.
最后注意到 命题得证. 可以看出把 定在 , 其目的是为了保证函数的凹凸性. 如果放到这个范围内, 凹凸性在 处反转, 变成半凸半凹的函数, 是不是就要用 EV 定理什么的, 但是我对这个主题不是很熟, 没法再做进一步的探索.
对于 的情形, 有如下结论：设 .
左边利用均值不等式放缩后再结合柯西不等式即可得到解答. 当然仿照前面利用琴生不等式也可以.
解法二的完整版
利用数学归纳法和 Ky-Fan 不等式可以处理本文的所说的一般情形, 也即不等式 , 此处不再展开. 大家看官方给出的解法二即可理解.