1试题内容

如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O．P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD＝BC·BE．
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC．当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得＝．当P既不与C重合也不与B重合时，＝是否成立？请证明你的结论．

2解法分析(1)

相似→垂直→切线的判定

条件“BD＝BC·BE”带有极强的相似特色，因此我们可以尝试寻找含有BD、BC、BE的相似三角形.

DE与⊙O相切，理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵BD＝BC·BE，
∴=，
在△BDE和△BCD中，
∠DBE=∠CBD，=，
∴△BDE∽△BCD，
∴∠BDE＝∠BCD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切.

3解法分析(2)

＝仍然成立.

一方面，使用“补短/旋转/作垂直”的方法可以将PA和PC“加”起来；另一方面，线段之间倍的关系通常与等腰直角三角形有关.因此，我们可以尝试寻找含“PA+PC”和PD的等腰直角三角形.

方法1：截长补短→全等三角形

延长PA至点F，使AF=PC，连接DF，
则：PF=PA+AF=PA+PC.

根据“等弧所对的圆周角相等”证明：
∠1=∠2=45°，
根据“同角的补角相等”证明：∠DAF=∠DCP，
根据SAS证明：△DAF?△DCP，
∴∠F=∠2=45°，
进而证明：△DPF是等腰直角三角形，
∴PF=PD，
即：PA+PC=PD，
∴＝.

方法2：旋转→三点共线

将△DCP绕点D顺时针旋转90°，得到△DAG，
则：△DAG?△DCP，
∴AG=PC，∠DAG=∠DCP，
由“圆内接四边形对角互补”得：
∠DCP+∠DAP=180°，
∴∠DAG+∠DAP=180°，
即：P、A、G三点共线，
∴PG=PA+AG=PA+PC.

易证：△DPG 是等腰直角三角形，
∴PG=PD，
即：PA+PC=PD，
∴＝.

方法3：作垂直→全等三角形

作DH⊥PD，交PA的延长线于点H，
根据“等式性质1”证明：∠3=∠4，
根据“同角的补角相等”证明：∠DAF=∠DCP，
根据ASA证明：△DAH?△DCP，
∴AH=PC，
∴PH=PA+AH=PA+PC.

易证：△DPH是等腰直角三角形，
∴PH=PD，
即：PA+PC=PD，
∴＝.