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2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．（3分）下面有4个图案，其中有（　　）个是轴对称图形．

A．一个 B．二个 C．三个 D．四个

解：由轴对称图形的概念可知第1个、第3个图形是轴对称图形；第2个、第4个图形不是轴对称图形．

故轴对称图形有二个．

故选：B．

2．（3分）某种水稻平均亩产820千克，某地计划种植3000亩，预计总产量是（　　）

A．2.5×10⁶千克 B．2.5×10⁵千克

C．2.46×10⁶千克 D．2.46×10⁵千克

解：820×3000＝2460000＝2.46×10⁶千克．

故选：C．

3．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）

A．2a?3a＝6a B．（3a²）³＝27a⁶

C．a⁴÷a²＝2a D．（a+b）²＝a²+ab+b²

解：A、原式＝6a²，不符合题意；

B、原式＝27a⁶，符合题意；

C、原式＝a²，不符合题意；

D、原式＝a²+2ab+b²；不符合题意；

故选：B．

4．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°

解：设AB与直线n交于点E，

则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．

又直线m∥n，

∴∠2＝∠AED＝70°．

故选：C．

5．（3分）若m²﹣n²＝5，则（m+n）²（m﹣n）²的值是（　　）

A．25 B．5 C．10 D．15

解：∵m²﹣n²＝5，

∴（m+n）²（m﹣n）²＝（m²﹣n²）²＝25，

故选：A．

6．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（　　）

A．0.75 B．0.525 C．0.5 D．0.25

解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，

即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，

则两个元件同时不正常工作的概率为0.25（正常，正常或正常，不正常或不正常，正常或不正常，不正常）；

故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为0.75，

故选：A．

7．（3分）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为（　　）

A．62° B．68° C．78° D．90°

解：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，

∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝70°+20°＝90°，

在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣28°＝62°，

∴∠CFE＝∠BFD＝62°．

故选：A．

8．（3分）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（　　）

A． B．

C． D．

解：∵小刘家距学校3千米，

∴离校的距离随着时间的增大而增大，

∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，

∴中间有一段离家的距离不再增大，离校50分钟后离校的距离最大，即3千米．

综合以上C符合，

故选：C．

9．（3分）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）

A．60° B．65° C．72° D．75°

解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠1，

∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，

∴5x＝180°，

∴x＝36°，

∴∠AEF＝2x＝72°，

故选：C．

10．（3分）黄帅拿一张正方形的纸按如图所示沿虚线连续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的形状是（　　）

A． B． C． D．

解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角顶点处剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选C．

二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

11．（4分）a^m＝2，aⁿ＝3，a^2m+3n＝　108　．

解：a^m＝2，aⁿ＝3，

a^2m＝4，a³ⁿ＝27

a^2m+3n＝a^2m．a³ⁿ＝4×27＝108，

故答案为：108．

12．（4分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中5个红球、7个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为　　．

解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为5，

∴摸出的小球是红球的概率为，

故答案为：．

13．（4分）如图，已知AB∥CD，BE⊥DE于E，则∠ABE+∠CDE＝　270°　．

解：过点E作FE∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥FE∥CD，

∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠FED+∠EDC＝180°，

∴∠ABE+∠BEF+∠FED+∠EDC＝360°

∵BE⊥DE，

∴∠BEF+∠FED＝90°，

∴∠ABE+∠CDE＝270°，

故答案为：270°．

14．（4分）在△Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，D是AB的垂直平分线与BC的交点．若AD＝6，则BC的长为　9　．

解：∵D是AB的垂直平分线与BC的交点，

∴BD＝AD＝6，

∴∠B＝∠BAD＝30°，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，

∴Rt△ACD中，CDAD＝3，

∴BC＝BD+CD＝6+3＝9，

故答案为：9．

三．解答题（共6小题，满分54分）

15．（12分）计算下列各题：

（1）（）^﹣3﹣2020⁰+|﹣5|；

（2）先化简，再求值：（x+y）²﹣2x（x+3y）+（x+2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝2．

解：（1）原式＝8﹣1+5

＝12．

（2）原式＝x²+2xy+y²﹣2x²﹣6xy+x²﹣4y²

＝﹣4xy﹣3y²，

当x＝﹣1，y＝2时，

原式＝8﹣12＝﹣4．

16．（6分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上．

（1）求△ABC的面积？

（2）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A₁B₁C₁．

（3）判断△A₁B₁C₁的形状，并说明理由．

解：（1）S_△ABC＝3×43×11×32×4＝5，

（2）如图，△A₁B₁C₁为所求；

（3）△A₁B₁C₁是等腰直角三角形．理由如下：

∵A₁B₁²＝1²+3²＝10，A₁C₁²＝1²+3²＝10，C₁B₁²＝2²+4²＝20，

∴A₁B₁²+A₁C₁²＝C₁B₁²，

∴△A₁B₁C₁为直角三角形，

而A₁B₁＝A₁C₁，

∴△A₁B₁C₁是等腰直角三角形．

17．（8分）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有数字3、4、5、6、7、9这6个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．

（1）转动转盘，转出的数字大于5的概率是　　；

（2）现有两张分别写有3和6的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．

①用你熟悉的方式求这三条线段能构成三角形的概率；

②这三条线段能构成等腰三角形的概率是　　（直接写出答案）．

解：（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于5的结果有3种，

∴转出的数字大于5的概率是．

故答案为：；

（2）①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有4种，

∴这三条线段能构成三角形的概率是；

②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有1种，

∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是．

故答案为：．

18．（8分）如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．

（1）求证：△ABE≌△DBC．

（2）探索BM和BN的关系，并证明你的结论．

（1）证明：∵DB是高，

∴∠ABE＝∠DBC＝90°．

在△ABE和△DBC中，，

∴△ABE≌△DBC．

（2）解：BM＝BN，MB⊥BN．

证明如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAM＝∠BDN．

在△ABM 和△DBN 中，

∴△ABM≌△DBN（SAS）．

∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．

∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°．

∴MB⊥BN．

19．（10分）如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，小明用n个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．

（1）当n＝5时，小明拼出来的图形总长度是　a+4b　．（用含a、b的式子表示）

（2）当a＝4，b＝3时，小明用n个这样的图形拼出来的图形总长度为28，求n的值．

解：（1）观察图形可知：

当两个图（1）拼接时，总长度为：

a+a﹣（a﹣b）＝a+b；

当三个图（1）拼接时，总长度为：

a+b+a﹣（a﹣b）＝a+2b；

以此类推，可知：

当n＝5时，小明拼出来的图形总长度是（a+4b）；

（2）结合（1）发现规律：

用n个这样的图形拼出来的图形总长度为：a+（n﹣1）b，

所以根据题意得，

当a＝4，b＝3时，得4+3（n﹣1）＝28

解得：n＝9．

答：n的值为9．

20．（10分）数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况?探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论　AE＝DB　；

（2）特例启发，解答题目

王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：　AE＝DB　．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED＝EC，如图3，请直接写CD的长　3　．

解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，

∴∠EDB＝∠FEC，

在△BDE和△FEC中，

，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD＝EF，

∴AE＝BD，

故答案为：AE＝BD；

（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，

∴∠EDB＝∠FEC，

在△BDE和△FEC中

，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD＝EF，

∴AE＝BD．

故答案为：AE＝DB．

（3）解：

如图3，

∵AB＝AC＝1，AE＝2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，

∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，

∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

即CD＝1+2＝3．

故答案为3．

四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

21．（4分）若x+3y﹣2＝0，则2^x?8^y＝　4　．

解：∵x+3y﹣2＝0，即x+3y＝2，

∴原式＝2^x+3y＝2²＝4．

故答案为：4

22．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是　5　个．

解：设袋子中红球有x个，

根据题意，得：0.25，

解得x＝5，

即袋子中红球的个数可能是5个，

故答案为：5．

23．（4分）如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为　60°或90°　°．

解：∵在△AOC中，∠AOC＝30°，

∴△AOC恰好是直角三角形时，分两种情况：

①如果∠A是直角，那么∠A＝90°；

②如果∠ACO是直角，那么∠A＝90°﹣∠AOC＝60°．

故答案为60°或90°．

24．（4分）如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝　70°　．

解：如图，连接OP，

∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，

∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，

∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，

∵∠MON＝35°，

∴∠GOH＝2×35°＝70°．

故答案为：70°．

25．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，OD垂直平分AB，将∠C沿着EF折叠，使得点C与点O重合，∠AFO＝52°，则∠OEF＝　52°　．

解：连接OB、OC，

∵OD垂直平分AB，

∴OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵AO平分∠BAC，

∴∠BAO＝∠CAO，

∵AB＝AC，AO＝AO，

∴△OAB≌△OAC（SAS），

∴OB＝OC，∠ABO＝∠ACO，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，

∵∠AFO＝52°，

∴∠OFC＝180°﹣∠AFO＝128°，

由折叠知，OF＝CF，

∴∠OCF＝∠COF，

∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA＝26°，

∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣4×26°＝76°，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝38°，

由折叠知，OE＝CE，∠OEF＝∠CEF，

∴∠COE＝∠OCE＝38°，

∴∠OEC＝180°﹣2×38°＝104°，

∠OEF∠OEC＝52°，

故答案为：52°．

五．解答题（共3小题，满分30分）

26．（8分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b²

（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）

（2）利用（1）中所得到的结论，填空：

已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a²+b²+c²＝　45　

（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF

①用含a，b的式子表示阴影部分的面积S＝　a²b²ab　

②若a+b＝10，ab＝20，则阴影部分的面积S＝　20　

解：（1）图2大正方形边长为a+b+c，其面积为（a+b+c）²，

分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

二者面积相等

由此得等式：（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．

（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38

∴a²+b²+c²＝（a+b+c）²﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45

故答案为：45．

（3）①∵S_阴影a²+b²（a+b）b

a²b²ab

（a+b）²ab

故答案为：a²b²ab．

②由①知阴影部分面积为 a²b²ab

∵a+b＝10，ab＝20

∴a²b²ab（a+b）²ab10²20＝50﹣30＝20

故答案为：20．

27．（10分）为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m³时，水费按每立方米1.1元收费，超过6m³时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为xm³，应缴水费为y元．

（1）写出y与x之间的函数表达式；

（2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？

解：（1）由题意可得，

当0≤x≤6时，y＝1.1x，

当x＞6时，y＝1.1×6+（x﹣6）×1.6＝1.6x﹣3，

即y与x之间的函数表达式是y；

（2）∵5.5＜1.1×6，

∴缴纳水费为5.5元的用户用水量不超过6m³，

将y＝5.5代入y＝1.1x，解得x＝5；

∵9.8＞1.1×6，

∴缴纳水费为9.8元的用户用水量超过6m³，

将y＝9.8代入y＝1.6x﹣3，解得x＝8；

答：这两户家庭这个月的用水量分别是5m³，8m³．

28．（12分）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，

AD与CE交于点F．

（1）求∠DFC的度数；

（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．

①补全图形（图2中完成）；

②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠BAD＝∠ACE，

∵∠BAD+∠DAC＝60°，

∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；

（2）①根据题意补全图形如图2所示：

②线段BE与CQ的数量关系为：CQBE；理由如下：

∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，

∴CE＝CP，∠ECP＝120°，

∵∠DFC＝60°，

∴AD∥CP，

∴∠ADC＝∠DCP，

∵△ABD≌△CAE，

∴CE＝AD，

∴AD＝CP，

在△ADQ和△PCQ中，，

∴△ADQ≌△PCQ（AAS），

∴CQ＝DQCD，

∵AB＝BC，BD＝AE，

∴BE＝CD，

∴CQBE．

— END —

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