
二、试题点评
(一)关于高考数学全国I卷试题的几点感悟
2022年高考数学卷的总体难度较高,部分试题运算量及难度相比2021年试题均有所提升,从部分考生的反馈来讲,难度理论上超过了深圳市一模难度。
首先,从客观角度来分析一下试题难易程度及分值占比,常规题,约占65分,占比比往年试卷略有降低,包括第1、2、3、4、5、9、13、14、17、18(1)、20;中等难度试题,约占30分,占比比往年大幅下降,比如第6、10、15、19;难题,约占55分,比如第7、8、11(C、D选项)、12、16、18(2)、21、22,占比明显比往年上升.因此从难易角度来讲,中档题明显减少,难题及计算量较大题型明显增多,层次区分将更加明显。
其次,从试题编排角度来讲,每类大题总体还是由浅入深,但其中又融合着些许运算量及运算难度较大的题目,因此考生在答题的过程中容易出现心态崩溃的现象,对考生心态是一个极大的挑战,比方说,20题原本不算难,但是因为排放位置比较靠后,很多考生可能未必有时间去做.因此,这也提醒我们考生,一旦考题比较难,一定要保持住心态,“我难人难,我不畏难”,遇到不会的先跳过去,回过头来再攻坚,如果按这个思路,只要基本功扎实,计算仔细,拿到及格分是可实现目标!
再次,从核心素养及数学思想的角度来讲,高考全国I卷尤为注重对考生的“数学抽象、逻辑推理、数学运算”的核心素养的考查,例如第7、8、11、12、16、21、22题;同时本套试卷将函数与导数,函数与方程彰显的淋漓尽致,甚至有些重复考察,例如第7、8、10、12、14、15、18、22都与导函数有关,占比也比较夸张,高达50分,其中与切线这一个点有关的试题就占了20分,由此可以看出命题人是非常热衷于考查考生的“函数与方程思想”的。
最后,从试卷总体布局来讲,概率统计模块略显空白,此处本是可以充分考查考生“数学建模、数据分析”的板块,可以充分结合“新高考情境式教与学”命题的板块,但过度深挖条件概率,着实显得有点片面,显得苍白无力。
下面就一些比较典型的试题进行一个分析:

第5题,简单的古典概型问题,但是很多考生可能会忘记了互质的概念了,看来高考不只是考高中内容,初中知识和概念也不能丢啊。(【备注】互质:当两个正整数仅存在公约数1时,则这两个正整数互质)
第6题,考查三角函数解析式求解,难度一般,只要熟知正弦型函数中各个参数的含义,难度不大,但是针对三角函数中参数(ω,φ)范围类型的题目,可以作为压轴型考题出现,备考时要专项进行突破。
第7题,本题是一道传统的比较大小的题目,【思路1】采用作商、作差的方式进行处理,但是难度不小,特别是对于a,c大小的比较,需要构造函数并且进行二次求导,处理耗时就很大;【思路2】用泰勒展开式进行放缩,可以大大降低运算量,提高接替效率。其实用泰勒展开式进行放缩处理导数大题已经是一种常见的手段,而且泰勒展开式近年来频繁出现在各大高考及模考试卷中,这反映出越来越多的大学内容正逐步下沉到高中阶段来,这一点在新教材中也有体现。在这个新旧教材更替的阶段,还有很多地方可以命题,所以备考的时候一定不要局限于旧教材、旧方法,要紧跟时代变革步伐。
第8题,本题以立体几何为背景综合考查考生构建函数模型及利用导数处理函数最值范围问题的能力,能较好地考查到考生对知识模块间的综合运用能力。本题设变量的方式有两种,一种是设长度,一种是设角度,当然设角度然后转化为三角函数来处理显然比较容易一些。
第11题,本题以抛物线为背景考查了准线的基本定义,直线与抛物线的位置关系,以及将常规代数式转化为根与系数表达式进而通过联立直线与曲线方程实现“设而不求”的基本思想。不过作为选择题,C,D选项的运算量还是比较大的。对考生会造成比较大的心理辅导。应考过程如果在11题就遇到此类运算量极大的试题,可以选择性跳过,留到后面进行攻坚。
第12题,推陈出新,用复合函数式来体现轴对称,中心对称,等抽象函数的性质,隐藏着导数的特性来体现特殊地方的函数值,需要同学们有良好的知识积累,利用三角函数图像来分析解决问题。
第14题,属于一道半开放式的题目,考查了考生数形结合及求切线方程代数运算的能力,同时还兼顾考察知识储备积累,例如两圆作差可以求公共弦或者公切线等。本题通过判断可以知道两圆外切,因此公切线有3条,任意写出一条即可。
第15题,已知切线条数,求参数范围,考查考生“转化与化归”、“函数与方程”的思想,关于曲线的切线问题,通常切点是切入的突破口,借助切线斜率即切点处导数,切点即在切线上,又在曲线上建立方程,转化为方程有两个不同实根,进而利用判别式求得参数范围。
第16题,以椭圆为背景,考查特殊离心率条件下的a,b,c关系,以及韦达定理,弦长公式的运用,对称性,椭圆定义等,复合能力要求非常高,是一个好题也是难题。本题可以采用特殊法进行处理,体现了特殊与一般的思想。
第17题,本题属于常规题型,第(1)问考察Sn,an之间的关系以及累乘法计算,变形过程相比于近几年数列题,难度有增大,需要同学们仔细推敲分析才能完成;第(2)问考察裂项相消数列求和。
第18题,解三角形,第(1)问考查利用三角恒等变换,求角,比较基础;第(2)问,求代数式的最值或取值范围,常见的方法就是基本不等式,或者利用正弦定理边化角,然后将角度多元归一,进而转化为三角函数的最值问题。本题和平常训练题型相比,难度有所增大,因为角度切换,不怎么常见:。这道题值得反思地方就是,备考过程中不仅要知道常规的解题套路,很多小的变形也需要考生日常去积累,比如逆用诱导公式。
第19题,第(1)问,考察老高考文科卷常用的等体积法,不再是考察平行或垂直等证明问题,打破了思维定式,我们发现,传统的模式刷题已经不能满足新高考的能力要求,要求同学们不再是单纯的模仿,要求打造自己的核心思维素养能力。第(2)问,主要考查考生对线面、面面垂直的判定及性质定理的应用,本题只有证明了,才算得以突破。所以说,命题人是深知考生要害,哪里最痛考哪里。
第20题,着实不知道出题意图,甚至意义在何处。暂且不去说指标R在现实生活中是否有意义,第(2)问的(i)是纯粹考查条件概率公式,思维成份较少,就像证明2×3=3×2一样有些鸡肋。如果对新教材仔细研究,我们发现新教材有大量素材可以用,比如以条件概率为背景,考察全概率公式。
第21题,客观来讲,本题是道“好题”,总体不算特别难,也不常规。但是第(1)问,命题人应该没想要把分送出去,所以让很多考生就会产生第(2)问岂不是要上天的感觉,进而就选择了放弃。其实本题第(1)问就是利用联立设点,设而不求硬解就可以解题;而第(2)问在第(1)问的基础上利用弦长公式或者转化为向量的数量积都可以进行处理。从本题来看,考生在考试过程中一定要有全局把握的意识,不要因为命题人在你面前放了一块石头就以为后面是座大山,你要相信,后面也许是一汪清泉,清甜可口。
第22题,作为全套试卷的冲刺,第(1)问考查学生分类讨论的思想;第(2)问,考查利用导数探究函数零点问题。两小问综合难度都较大。
三、2023年高三数学备考建议
教学以立德树人为导向,注重学生关键能力和核心素养的培养。复习中要重视学生思维能力的提升;注重引导学生摆脱模板化学习,避免思维定势;培养考生透过问题看本质的能力;注重帮助考生梳理知识点之间的衔接关系,做到高屋建瓴,融会贯通。具体有以下几点建议:
1、继续研读新教材,挖掘新教材中的命题的着力点。
新高考使用的新教材,有很多变化,例如解三角形融入了平面向量;三角函数模型被提到了更加显著的位置;大学里的全概率公式下放到了新教材中等等。那么在新旧教材衔接过渡的过程中,要注意加强对“新”的重视与认知,把握其中的“差异”,围绕新高考提出的“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四个层次的考查内容和“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求做好全面复习。
2、一轮复习扎实根基,二轮复习融会贯通,高屋建瓴。
只有一轮复习扎实了根基,二轮复习才可能融会贯通,高屋建瓴。高中数学是一个有机整体,而要从整体上对整个高中数学有一个系统性的认知和理解,必须要有扎实的根基,否则就会心有余而力不足,想玩也玩不转。而在二轮复习中,则要整体设计与实施教学,帮助学生理清知识脉络,抓住数学本质,培养学生对知识点的敏感能力,揣摩出题人命题的思路,做到“点面切换自如,见一木而知森林”。
3、强化数学思想方法,重视通识通法。
数学不仅仅是一种重要的工具,更重要的是一种思维模式,一种逻辑思维方式。注重对数学思想方法的考查也是高考数学命题的显著特点之一。因此,在各个阶段的复习中,要结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法,对其进行多次再现、不断深化,逐步内化为自己能力的组成部分,实现“知识型”向“能力型”的转化。高中数学中常见的几类数学思想:“函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想”等。引导学生在一轮复习中按上述思想方法,对错题、好题进行总结归类,并重视对各类题型的通识通法的指导。
4、整合优质资源,加强自主研发。
新高考改革以后,高考格局发生了巨大变化,江苏、浙江参与到全国I卷中来了,而江苏、浙江一直以来就是引领着数学高考试点改革的省份,同时还有山东、湖南、湖北等老牌高考大省也用全国I卷,可想而知未来的新高考全国I卷的数学,不可能再变容易。如果一直只是被牵着走,则广东省数学难以冲出重围。因此,日常教研活动一定要落到实处,切实研究先进省份的试题,命题及教学,然后注入团队的见解,自主研发,这样即便被牵着走,鼻子也不会那么痛嘛。
5、狠抓教学常规,切莫空喊口号。
(1)一轮复习
坚持四抓:“抓预习,抓课堂,抓课后,抓笔记”;
(2)二轮复习
①三个重视:“重视订正,理性刷题”,“重视归类,触类旁通”,
“重视方法,形成体系”;
②四个练好:“练好基本考点,练好解题技巧,练好解题速度,练好答题规范”;
(3)三轮复习:“树立信心,保持题感”;
(4)高考考场:“重视基础,酌情取舍”。
道阻且长,行则将至,数学研究是一种不断尝试,不断探索,不断突破和超越的精神,保持好奇,虚心接纳,仰望星空,脚踏实地,加油2023届的孩子们!未来可期!
深圳市厚德书院高三数学备课组:
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