2022年Tuymaada数学竞赛两道几何题解答

题1.在直角⊿ABC中，B为直角顶点，I为内心. 过B作CI的垂线交AI于D，过B作AI的垂线交CI于E.求证：⊿EID的外心在AC上.(初级组题1)

证明：设BE、BD交AC分别于F、G.

∠BFC=180°-(90°-

)=90°+

=∠BIC , 知B、I、F、C共圆，结合CI为角分线知IF=IB，同理IG=IB.

∠GIF=360°-∠BIF-∠BIG=∠C+∠A=90°.

以I为反演中心，IB=IF=IG为半径作反演变换，知E->C、D->A，注意A、G、F、C共线，所以I、D、G、F、E共圆,GF为其直径，命题得证！

2.⊿ABC中,L、M、N分别为BC、CA、AB的中点，其内部一点P满足∠PCB=∠MBC、∠PAB=∠MBA.过P作AC的垂线交BM于点E.求证：L、M、N、E四点共圆.(高级组题2)

证明：过A、C作⊙(ABC)的切线交于点S，BS再交⊙(ABC)于点D，则知四边形ABCD为调和四边形.

取BD的中点P,则有∠PCB=∠DCA=∠DBA=∠MBC;同理有∠PAB=∠MBA，于是知题设的点P即为BD的中点.

于是易知∠MBL=ABP, ∠PAB+∠PBA=∠CAD+∠PBA=∠CBD+∠PBA=∠B=∠MLC

于是知⊿ABP∽⊿MBL.

另一方面，以B为位似中心作位似比为2的位似变换，知N->A、P->D、L->C,于是知B、N、P、L四点共圆.

重新定义点E为BM与⊙(MNL)的交点。 ∠PNL=∠PBL=∠ABM=∠BML=∠ENL,

∠PLN=∠PBN=∠CBM=∠NME=∠NLE,

于是知NL为PE的垂直平分线，显然LN//AC，于是知PE?AC，即点E为题设的点E，它在⊙(MNL)上,命题得证！

注：余师傅解几何题的三大法宝是：调和与配极、反演变换、完全四边形.长期本人gongzhong号并阅读了其中文章的人对此应有此印象.尽管余师傅从开始写<反演变换与完全四边形>时就曾在gongzhong号中呼吁大家要重视这三块，并说它们是平面几何进阶的必经之路！

在余师傅新作《平面几何漫谈》中，这五块（包括内心、垂心这两个重要的形心）加起来占据了370页篇幅中的290页。

但我相信，由于高中数学联赛不考这些知识，大家未必会当回事.