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#高代考研#高代考试
本试题参考自中山大学2022年数学分析与高等代数考研真题，下面给出小编自己作出的解答. 若有疑问可在本gongzhong号聊天界面进行留言，希望可以帮助到大家学习！
第一题是典型的除主对角元外其余元素都相同的行列式的求值，处理这种行列式可以用升阶法，也可以用行列式的降阶公式. 但由于直接使用行列式降阶公式不知是否会扣分，所以下面在用降阶公式顺道把它给证明了！类似的题还有2017年汕头大学高等代数考研真题与参考答案第五题第(2)小问.
第三题，一方面可以根据特征多项式，最小多项式去推算不变因子组，进而得到矩阵的初等因子组与若尔当标准形.另一方面也可以用λ-矩阵的知识算出矩阵的不变因子组，直接得到矩阵的特征多项式，最小多项式，初等因子组与若尔当标准型. 其根据是不变因子组中所有不变因子的乘积是特征多项式，次数最大的不变因子是最小多项式，各个不变因子之间是前一个不变因子整除后一个不变因子，而且所有不变因子的准素因子构成初等因子组，初等因子组中的每一个初等因子都代表一个Jordan块.
先前本gongzhong号发文[from 2022中山大学考研真题]矩阵观点求数列递推关系的通项是根据2022年中山大学高等代数考研真题与数学分析考研真题及参考解答，与中山大学2022年数学分析与高等代数考研真题中的表达有些许不同，这可能是真题回忆的差别. 但本质上是考察用求矩阵方幂的方法来推算数列的递推公式. 与之类似的题有2021年汕头大学高等代数学硕真题参考答案第六题，2020年汕头大学高等代数学硕真题参考答案第四题，2017年汕头大学高等代数考研真题与参考答案第七题，2015年汕头大学高等代数学硕真题参考答案第二题. 读者可根据这些题目来总结用矩阵方幂的方法求递推公式的步骤.
第五题与幂等变换，幂等矩阵的性质总结提到的性质8有一定相似. 性质8是根据已知的子空间找符合条件的线性变换，本题是根据已知的线性变换找符合子空间.其突破口就是就是根据KerF的一组基扩充为全空间的一组基，从而利用这组基与已知的线性变换构造出符合条件的一组新基.
第六题本质上考察与所有矩阵可交换的矩阵只能是数量矩阵. 事实上，下列三个说法是相互等价的：
1° A是数域F上的数量阵；
2° A与数域F上的所有同阶矩阵可交换；
3° A与数域F上的所有同阶可逆矩阵可交换.
其证明方法就是第六题的证明方法.但是该结论直接应用不知是否扣分，所以本题的解答也是证明了这一结论.
接着，我们运用行列式等于矩阵所有特征值的乘积的观点讨论矩阵的可逆性.
第七题考察了所有迹零矩阵（迹等于0的矩阵）都可以表为形如AB-BA的形式，这是高代课本总练习题32-34的结论. 同样该结论直接应用不知是否扣分，所以本题的解答也是证明了这一结论. 证明该结论使用了迹的线性与交换性，也是容易证明的.根据迹的交换性可以证明相似矩阵有相同的迹，读者可尝试自己补充该结论的证明.
本题结论成立的一个重要的条件是矩阵的特征值全为实数.特别地，特征值全为实数的矩阵不一定是实方阵，如Hermite阵允许矩阵元素是虚数，但特征值必为实数. 事实上，矩阵A=[0 i;-i 0]是Hermite阵，其特征值为1,-1.另一方面，A=[0 i;-i 0]也是含有虚数元素的反对称矩阵，所以实反对称阵的特征值为0或纯虚数的结论不可推广到复反对称阵上.
第八题证法一运用了若两个矩阵都可对角化，则这两个矩阵必然可同时对角化，以及分块可对角化矩阵的每一个分块都可以对角化的结论，2020年汕头大学高等代数学硕真题参考答案第七题，2015年汕头大学高等代数学硕真题参考答案第七题（母题）均有考察，只不过本题将其改为正交相似关系下的版本. 知道该结论很容易得到本题的结论. 当然本题也用了一个技巧，矩阵的任一主子阵可以通过合同变换变成与之合同的另一矩阵的顺序主子阵，也就是前k行前k列的k阶主子阵. 因为正定矩阵拥有所有顺序主子式都大于0的结论，所以这一技巧在处理正定矩阵的主子阵相关问题很有用.
证法二运用了已知A,B是正定矩阵，则AB是正定矩阵的充要条件是AB=BA的结论，以及发现I-A也是正定矩阵，这是处理本题很重要的突破口. 用该方法相对证法一可以节省很多时间.
当然，证法一与证法二所用的结论并没有出现在课本正文，所以使用前要加以证明，避免扣分.
第九题的本质是考察Sylvester不等式的应用及其推广，Sylvester不等式的结论来自于高代课本第四章补充题10，是处理与两个矩阵的秩或两个矩阵乘积的秩（多个矩阵的秩的和或多个矩阵乘积的秩）的相关不等式问题的重要工具.其一个重要推论是，如果AB=0，则r(A)+r(B)≤n，其中n是矩阵A的列数或矩阵B的行数，这是高代课本第四章第18题的结论.
事实上，本题只要是对f(x)不充分因式分解，结论也成立. 不可约分解的条件相对较强.
总体而言，该试题只要明确了使用哪一个二级结论进行求解，作出解答相对来说是不难的. 至于要想到用哪一二级结论，这需要大家有所沉淀才可厚积薄发，保证每天比昨天多学一个，绝对有赚！加油呀！
注：本文中所指的高代课本指的是小编所用的北京大学前代数小组编（王萼芳，石生明修订）的《高等代数（第四版）》，而第五版课本内容与之大致相同，读者可作相应参考.
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