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Hugo Duminil-Copin（雨果·度米尼尔-柯平），思考很少在不运动的情况下发生。他对复杂网络的流动相关属性的洞察力为他赢得了菲尔兹奖。

度米尼尔-柯平在日内瓦的 Parc des Bastions。“雨果非常非常乐观，”一位同事说。“他希望一切顺利。”

作者：Jordana Cepelewicz 2022-7-5

译者：zzllrr小乐 2022-7-6

日内瓦大学的数学系通常很安静——除了从杜米尼尔-科平办公室传来声音，这种并不少见的情况之外。弗里堡大学的数学家、杜米尼尔-科平的前博士后Ioan Manolescu说：“我们系内一直以互相大喊大叫而闻名，因为我们会对自己所做的事情感到非常兴奋。” 有时，当他们的声音越来越大时，邻座教授可能会抱怨音量，他们不得不关上办公室的门。“我们被我们的同事讨厌，”杜米尼尔-科平开玩笑说。

尽管如此，他不会改变任何事情。那些激烈的讨论，有时在黑板前持续数小时，是他学习数学不可或缺的一部分。他喜欢与他人分享他的想法，将他们分开，然后作为一员重新组合在一起成为一个团队。瑞士苏黎世联邦理工学院 (ETH Zurich) 的数学家温德林·沃纳 ( Wendelin Werner ) 说，他的数学方式“非常运动范儿” ——充满活力、动力和协作。

这是有道理的：36 岁的 杜米尼尔-科平 是一个运动型的人。他徒步旅行、骑自行车、游泳和爬山，而且经常在这些短途旅行中获得阵阵数学灵感。他对各种活动的兴趣也体现了他的工作特点，他从各个领域对工具采样，不断努力改变数学家对相变的理解。

由于这项工作，杜米尼尔-科平现在获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖。他跨越了数学和物理学的界限，分析了流经多孔介质的流体模型，就像流过咖啡渣的水一样。这些模型涉及在随机网络中形成连接的集群，也可以代表疾病的传播、谣言的传播或森林火灾的进展。

在 杜米尼尔-科平 出现之前，对这些模型的研究——被称为渗流（percolation）理论——“有点卡住了，”沃纳说。一种相对简单的渗流模型被很好地理解（并且在 1990 年代就已经被理解），但大多数模型都不是。从他还是研究生的时候起，杜米尼尔-科平就阐明了那些更复杂的模型，并在此过程中发展了一种更普遍的渗流理论。

“不知何故，在他经历了这个领域之后，你就认不出来了，”沃纳说。“一切都变得更简单、更精简。结果更强。……对这些物理现象的整体理解已经改变。”

比赛输赢

人们注意到 杜米尼尔-科平 的第一件事就是他的热情。“他总是精力充沛，”伦敦帝国理工学院的数学家Martin Hairer说，他在菲尔兹奖颁奖典礼上发表关于 杜米尼尔-科平 工作的赞誉演讲。Manolescu赞同。杜米尼尔-科平 喜欢“把[他的] 双手放在里面，做所有杂乱无章的工作，”他说——甚至重写旧的证明以确保他正确理解它们，并以最能解决他正在研究的问题的方式。“雨果非常非常乐观。他希望一切顺利。”

这种活力、热情和乐观不仅体现在与同事的大声讨论中，也体现在他所做的每一件事上。你见到他的那一刻就很清楚：他似乎无法静坐。在办公室里聊天时，他在座位上换了个姿势，站起来靠在门框上，双手插在口袋里，或者靠在椅子的扶手上，然后又坐了下来。他将在不到两个小时内喝完两杯咖啡。（“随着时间的推移，咖啡的消费量越来越差，”他说。）

他一生都很活跃。他在距离巴黎一小时火车车程的郊区长大，他把时间花在弹吉他、和朋友一起出去玩、和父母和弟弟一起露营、远足和越野滑雪。

最重要的是，他喜欢运动。这让他能够将精力集中在身体上，成为团队的一员，测试不同的策略。他的父亲是一名中学体育老师，他的母亲在成为小学老师之前是一名舞蹈演员。数学不是他唯一甚至主要的兴趣。他很擅长，但他并没有超过同龄人，以至于其他人注意到了。他打手球（一项在欧洲很受欢迎的运动），在考虑他将参加哪所专业高中时，“我在打手球和实际做更多科学研究之间犹豫不决，”他说。“当时，我认为我的运动成绩并不比数学差。”

但最终，杜米尼尔-科平决定去巴黎的一所面向数学和科学的高中，“我擅长数学，但显然有更好的人，”他说。他回忆起从一名最差的学生开始，逐渐上升到班上的前列，只是在第二年被安排在一个选择班，在那里他又从最底层开始。“我当时想，哇，那将是漫长的一年，”他说。但很快，他又爬回了排名。尽管如此，当他参加国际数学奥林匹克的资格考试时——这是一项针对高中生的数学竞赛，许多过去的菲尔兹奖牌得主都很擅长——他炸了。“我没有这种惊人的解决问题的能力，”他说。相反，对他来说，这关于努力和创造性。

“我从不气馁。我总是很乐观，我至少会享受我正在做的事情，”他说。

这种态度也帮助了他在高中刚毕业时，他就读了“预备班”（classe préparatoire），这是一个为期两年的强化课程，旨在让学生为参加专业大学的全国入学考试做好准备。“大多数人的压力都很大，竞争也很激烈，”Manolescu 说，他在那段时间遇到了 杜米尼尔-科平。“他当时很轻松。”

所有这些加起来就是“一个非常正常的童年”，杜米尼尔-科平说，“我认为这对接下来的事情非常重要。许多人没有接受太多训练，因为事实上，研究对大脑来说是一件非常困难的事情。......你需要非常平衡才能在数学上取得成功。至少，我是这么觉得的。”

流

杜米尼尔-科平 通过了这些入学考试，最终进入了法国顶尖大学之一的巴黎高等师范学院（école Normale Supérieure）。

在那之前，他不确定自己会学习物理还是数学。“我有点想了解这个世界，但同时需要非常清晰和独立的答案，”他说。他热爱物理学——它依赖于物理直觉，物理学家可以描述宇宙这一事实——但他意识到他并不满足于解释，除非它们是完全严谨的，能够说某事是真正已知的。“有了漂亮的数学证明，正确的证明，你就会有一种完成感，”他说。“我很难用物理学找到这一点。”

他最终专注于一个与物理学非常接近的数学领域，并且几乎完全受到物理过程的推动——他从一开始就被吸引到的确切的物理直觉。“对我来说，渗流是直观的，”他说。“我的初恋。”

为了理解数学渗流（mathematical percolation），想象一个由边连接的无限网格点，这样它们就形成了一个棋盘。对于每个可能的边，翻转一个加权硬币。如果它落在正面——这可能以 1%、20% 或 80% 的概率发生，具体取决于硬币的加权方式——将边涂成黑色。否则，别管它。（在物理渗流中，黑色边意味着流体可以流过系统的那部分。）数学家想要了解连接的黑色边簇（称为连接组件connected components，又译连通分量）如何在原始晶格上实现。

当你慢慢提高任意两点被黑边连接的概率时，就会发生相变。也就是说，系统的整体行为会突然发生变化，就像当温度降至零摄氏度以下时水会结冰一样。（事实上，“大多数系统实际上都经历了相变，”杜米尼尔-科平说。）在这种情况下，如果你逐渐增加硬币正面朝上的概率，系统就会通过一些临界值：低于该值，有几乎不可能有无限长的连接组件，因此我们的流体会卡住。在它之上，将有一条无限的、连续的路径通过系统，从而我们的流体将流动。

数学家想要了解系统在低于、高于和高于该临界点时的行为方式。但直到 2008 年左右，渗流理论主要局限于确定最简单的渗流模型的细节，称为伯努利渗流。直到 杜米尼尔-科平 以将这种理解扩展到其他渗流模型为使命，事情才开始发生变化。

听他讲，一切都是从一次游泳和一个不太奏效的想法开始的。

作为日内瓦大学的博士生，他数月来一直试图解决一个关于渗流的问题，但无济于事。但是，当他在思考这个问题时——他从不在办公桌前做这件事，更喜欢走路、去花园，或者只是看电视——他想到了一个不同的想法。这对他一直希望回答的问题不起作用，但他意识到，这正是他在一个单独的领域解决问题所需要的：组合学。

“有一天，我在海里游泳，在大约 10 分钟的游泳时间里，我完全证明了另一个问题，”他说。

那个博士生结果几乎会立即推动他成为教授。他和他的导师斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫（ Stanislav Smirnov）考虑了六边形格子，这是一种类似于蜂窝的边和顶点的图形。他们想计算自回避行走的路径数——同一个顶点从不访问两次的边的路径。两位数学家最终证明了有 种可能，其中N是路径中的步数。他们于 2012 年在被广泛认为是该领域顶级期刊的《数学年鉴》（ https://annals.math.princeton.edu/2012/175-3/p14 ）上发表了他们的结果。

沃纳说，这项和其他研究生工作“清楚地表明他不是一个普通的学生”。2012 年在他博士答辩的晚上，他在日内瓦获得了教职。（他现在在法国高等科学研究所联合就职。）到 2014 年，29 岁的他成为了一名正教授。

受控的怀疑

尽管他早期的成功——或者可能是因为这些——杜米尼尔-科平认为自己对学术等级制度过敏。同行成了他的博士后，但他们说他总是一视同仁。

访问 杜米尼尔-科平 的网站，在列出的数十篇论文中，只有几篇他是唯一作者。（出于这个原因，他还希望更多的奖项，包括菲尔兹奖章，是共同拥有的。）“当我与某人分享它时，它会更加愉快，”他说。“我甚至数不清有多少次冲进我的一位博士后或一位同事的办公室，解释一些从一开始就实际上是错误的糟糕想法。” 事实上，他倾向于与他的朋友和合作者讨论一切，而不仅仅是数学。这有助于他处理，理解事物。

“他会经常这样做，”Manolescu说，他就是这样一位亲密的朋友和合作者。“我曾会和他一起工作五个小时。我走出他的办公室，变得彻底精疲力尽。他会喝杯咖啡，然后请其他人过来谈论一些完全不同的话题。”

Vincent Tassion是苏黎世联邦理工学院的数学家，也是 杜米尼尔-科平 的另一位亲密朋友和合作者，他将其描述为有一个好伙伴一起爬山。这就像“当你遇到你的灵魂伴侣时”他说。随着时间的推移，“我们建立了自己的语言。” 有时他们甚至不需要说什么。“一个微笑就够了。”

Tassion 回忆说，有一次，在完成与 杜米尼尔-科平 的证明后，双方都特别兴奋，“我们跳着拥抱彼此。” Tassion 说，他们的合作教会了他“数学是非常亲密的东西”。“你正在分享……你的想法。这是你拥有的最亲密的东西。”

但对于 杜米尼尔-科平 来说，这种强度，这种全时沉浸在数学作为一项协作运动，也有助于他应对焦虑。他对自己所做的几乎所有事情都不确定。在研究生院，他可以有一个完整的证明，完整地写出来，而他仍然会怀疑几个月。让合作者检查他的工作让他更放心。尽管他有明显的智慧和魅力，“我并不那么自信，”杜米尼尔-科平说。

杜米尼尔-科平办公室里的 Hagoromo 粉笔，深受数学家喜爱。

据他自己承认，他倾向于过度思考事情。不仅仅是在数学方面——而是一切。例如，他最近监督了他的新房子的规划和建设，他与他的伴侣 Séverine、他们 1 岁的女儿和他们的狗分享这所房子。在建造过程中，他会与工人们讨论各种可能性，不断地想要修改哪怕是很小的细节。“我完全，完全着迷，”他说。“房子可能只有现在的一半漂亮，而且已经足够了。”

这就是他的证明写作的样子：不断改进，对细节着迷。

对细节的过分有其优势。这家人的新家建在山坡上，让他们可以看到整个日内瓦——包括湖泊和著名的喷泉。他的办公室很宽敞；地板的一部分被六角形瓷砖覆盖，让人想起他的博士工作和渗流理论中的一个重要过程。（这是有意设计的。）

“我喜欢事情以正确的方式完成，”他说——一旦结束，它们就真正完成了。“例如，对于这所房子，我不必再搬家了。” 再一次，他使用的语言反映了他如何描述他的数学工作：正确完成的证明给他一种完成感。

坐在外面的露台上——有几个户外空间，他可以在那里停下来思考——杜米尼尔-科平观察周围的环境。“我喜欢这个地方，”他说。“这是一个思考事物的邀请。”

“当你看到这个时，”他继续说道，指着身后升起的阿尔卑斯山峰和远处蔓延开来的湖水，“它让事情变得清晰起来。……周围有几百万年来一直存在的山脉。它们将在数百万年后出现。这让你确信自己是多么渺小。”

尽管态度随和，但他说他需要感觉自己处于控制之中。这适用于建造新房子（他没有专业知识）和现在对孩子的抚养。即使是获得菲尔兹奖的新闻报道也肯定会让他有些不舒服。这是他无法控制的另一件事。住在山里有助于使事情看起来更容易处理。

数学也是如此，他也将其用作治疗机制。在那里，他可以行使更多的控制权，因为“我掌握了我正在做的事情，”他说。此外，他所做的数学与日常生活领域脱节，“这是非常令人放心的事情，因为它非常纯粹。” 它所需要的强度让他忘记了其他一切。

尖锐的区别

杜米尼尔-科平 彻底改变了我们对渗流理论的数学理解，但从物理学家的角度来看，由于在现实生活场景中对渗流的实验观察，他所证明的大部分内容已经为人所知多年，甚至几十年。“每个人都知道答案会是什么，但没有人知道如何证明它，”沃纳说。

杜米尼尔-科平 关于渗流的工作可分为三个部分：确定相变发生的临界点；描述该点上方和下方系统中发生的情况；并了解当时实际发生的事情。

其中大部分已因伯努利渗流而闻名，这是一种简单的模型，其中黑边的存在与否是通过独立的硬币翻转来确定的。但对于大多数渗流模型，情况并非如此。相反，格子的某一部分存在黑边会影响其他地方是否有黑边。由于这些长期依赖关系，这样的渗流模型更难理解。

但它们也是更好的现实模型。黑色边的路径可以代表自然系统不同部分之间的相关性或通信通道，如磁铁。事实上，杜米尼尔-科平经常使用相关的渗流模型来深入了解 Ising伊辛模型，该模型用于研究铁磁体和相关系统的行为。

然而，在他这样做之前，他必须弄清那些依赖的渗流模型。他的第一个成功之一（https://link.springer.com/article/10.1007/s00440-011-0353-8 ）是为一大类二维相关渗流模型确定临界点——相变发生的概率阈值。他和数学家Vincent Beffara得到的公式也产生了伯努利渗流的已知答案。“这在某种意义上是故事的开始，”杜米尼尔-科平说。

他接下来想了解系统在临界点之上和之下的行为。在它之下，晶格上的连通组件都是有限的。但它们有多小？杜米尼尔-科平与 Tassion 和Aran Raoufi一起证明了他们很小。找到一个大的连接组件——一个巨大但有限的连接黑边岛——的概率随着该岛的所需大小变得越来越大而迅速下降。也就是说，当你考虑距离彼此越来越远的点时，两个点位于同一连通组件的概率呈指数下降。

类似地，在临界点之上，与无限并存的有限连通组件也很小。

这个属性被称为“锐度”（sharpness），杜米尼尔-科平和他的同事们使用分析和计算机科学的工具，在所有维度的一类主要依赖渗流模型中证明了这一点。（https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematics/volume-189/issue-1/Sharp-phase-transition-for-the-random-cluster-and-Potts-models/10.4007/annals.2019.189.1.2.short）为了推广渗流理论，这个结果（也发表在年鉴上）“是我长期以来目标的基石之一，”他说。这是因为许多其他与临界点以上和以下相关渗流模型的行为有关的证明都假设该属性是一个猜想。结果，一旦 杜米尼尔-科平 得到证明，其他结果就立即出现了，这些结果提供了对某些数量和特征（例如连接组件的形状）的洞察力。

锐度

如果一个渗流模型的相变是“尖锐”的，则两个点属于同一个有限连接组件的概率会指数级快速衰变。实际上，这就意味着所有的有限连接组件都很微小。

当然，也许最自然的问题是在临界点本身，即相变的精确时刻会发生什么。对于数学家来说，理解“是最具挑战性的部分，也是最神秘的部分，”Tassion说。“这是当今大多数未解决问题要研究的对象。”

当无限连通组件出现时，它可能会逐渐增加密度，一点一点地侵入整个空间。在这种情况下，渗流模型在临界点被称为“连续”。但有时，这种密度可能会突然以“不连续”的方式跳跃，无限的成分渗流到整个系统中，因此一旦发生相变，流体不仅会找到路径，而且几乎可以在任何地方流动。

这种区别对于理解给定的过程至关重要。例如，从冰到水的相变是不连续的。因此，在零度时，必须在转换实际发生之前的一段时间内向系统添加更多能量。（这种不连续性也有助于解释其他特性，例如体积的突然变化。）

对于伯努利渗流，已知相变是连续的。但是对于依赖渗流模型，物理实验和直觉表明它有时是连续的，有时是不连续的。杜米尼尔-科平 试图解开这一点。他和他的同事们首先表明，对于一类二维的依赖渗流模型，相变在一定的状态下总是连续的（与模型相关的另一个参数有关）。一年半后，他和另一组数学家证明了同一类模型在互补状态下具有不连续的相变。

使用对相关渗流模型的这种更广泛的理解——关于在临界点之前、之后和之后发生的事情——杜米尼尔-科平已经能够进一步推广他的理论，包括其他模型，如Ising伊辛模型。“基本上，雨果解决了这个领域一半的主要的未解决问题，”Werner 说。

解决了

对于 杜米尼尔-科平 来说，他的研究只是他作为数学家实际所做工作的一小部分。“他非常清楚自己对社区的责任感，”沃纳说。“他是一个非常非常负责任的公民。”

他仔细考虑自己的行为——他如何说话、教学、写作——如何影响他人。在合作中，“他非常慷慨，”塔松说。“他为你腾出空间……[并且]有能力让你觉得自己很聪明。这非常鼓舞人心。”

“我并不那么自信，”杜米尼尔-科平说，但“我总是很乐观，我至少会享受我正在做的事情。”

对 杜米尼尔-科平 来说，写一篇尽可能通俗和优雅的清晰论文是一种尊重：对于那些愿意花时间阅读它的数学家，以及那些可能想要在它的基础上构建或在自己的工作中使用它的人。这可能意味着要花费数年时间来完善一个证明，将其提炼出本质，并去掉不必要或令人困惑的部分。或者，就像他在一项主要工作中所做的那样，简化预先存在的证明，从而改变新生学习该领域关键部分的方式。“他真正关心的是实际解释东西，而不仅仅是成为第一个真正证明这一点的人，”Hairer说。

“你有责任，”杜米尼尔-科平说。这同样适用于教学、参加各种委员会、做编辑工作和写推荐信。有时，他会优先考虑这些对自己不利的任务：即使他已经不堪重负，涉及其他人的活动也是第一位的。

现在他获得了菲尔兹奖，他觉得自己好像被赋予了另一份工作：充当某种大使，恰当地展示数学研究是什么样的以及为什么它很重要。“你别无选择，只能创造这样的例子，”他说。

尽管如此，最后他总是会重新回到做数学的方向。他希望通过证明它们在临界点满足某些对称性（即它们是“共形不变量”conformally invariant）来撰写关于二维相关渗流模型的新篇章。如果他和他的同事能够证明这些对称性存在，数学家将能够提取有关模型的大量其他信息。“基本上，你会了解模型的一切，”杜米尼尔-科平说。“所以对我来说，这是二维的最后一步。”

在 2020 年底发布的工作中，他和他的合著者朝着展示共形不变性迈出了重要一步。但 杜米尼尔-科平 认为，今年早些时候，他们可能已经取得了他们需要的突破。“目前尚不清楚它是否足够强大以获得新的结果，”他说。但他很兴奋，他期待有时间更深入地思考它。“这是一个对我来说非常重要的问题。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/hugo-duminil-copin-wins-the-fields-medal-20220705/

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