中学数学|拟柱体在高考中的应用

发布于:2023/10/29 20:22:58   所属分类:高考备战学习资料库

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#未来教师的备忘录??

我们

本篇文章源于在郑州一中的教研活动~


第一次听到“拟柱体”这个名词,最大的感觉是陌生。其实,我们早就在很多高考题中见过“拟柱体”,例如下方这个立体几何就是“拟柱体”

(湖北省武汉外国语学校2019届高三3月模拟质量检测(理))

我相信很多人都见过类似的题目,空间想象很好的朋友或许已经做出示意图了?

不同于柱体、球体、锥体、台体,这类看似不规则的几何题,现在逐渐成为高考热门考点之一。考核柱体、锥体、球体,甚至台体的体积、表面积似乎已经不能满足高考筛选人才的需要,于是就出现:基础几何体的拼接、切割、重叠……这些陌生几何体不那么直观,学生空间想象能力原本就弱,再一重叠、一切割,更加不知所措。

新的问题已经出现,怎么能够停滞不前

今天主要讨论的是“拟柱体”,这一类型在“不规则立体几何”中较为容易、简单,主要考查的是体积计算。

拟柱体定义

所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体

它在两个平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高。

以下图形均为拟柱体


“拟柱体"的体积

用V表示几何体的体积,h表示物体的高,S1表示上底面面积,S2表示下底面面积,S中表示中截面面积——高线的垂直平分线和物体相截得到的剖面面积。公式为:


圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、圆台、棱台、球、球冠、球缺等各有自己的体积公式,它们是特殊的“拟柱体”,都可以由“拟柱体”体积公式计算得到相应体积:

拟柱体体积公式,是由微积分推导得到的。微积分中有这样的公式:若S(x)是三次或三次以下的多项式,则有:

若取a=0,b=h,则有:

用平行于底面的平面来切割物体,x为平面到下底的距离,S(x)记为这个平面截物体所得的剖面面积,物体体积恰为等式左边的定积分,等式右边的S(0)、S(h)、S(h/2)恰为上底、下底、中截面。若S(x)是x不超过三次的多项式,就能用拟柱体体积计算公式。




一些示例


(2022年2月济南高三模拟考试第8题)

解:(用拟柱体的体积公式)


(青海省西宁市高三开学摸底考)

解:(用拟柱体的体积公式)


高考真题

2002年北京高考·18题

下面的解答抄自标准答案……

以下是找了好久的新题

以下仅为第2题的解答,但是考虑到这一问是一个大题,在实际作答时,最好不采用“拟柱体”体积公式。本题仅作为一个例子。


下面的一些高考真题就不做啦,就当举例子啦!(懒得做)

我发现江苏考完之后,其他模拟就开始抄题了(下方是上海、黑龙江抄的结果)


高考题也很喜欢改一些竞赛……



【注意事项!!!】

只有拟柱体可以使用上方公式!
所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体


参考资料

[1]甘大旺.《九章算术》中的刍童、刍甍、羡除[J]湖北:中学数学杂志,2016(7):42-44.

[2]李云鹏.居高才能临下__深入方可浅出,以2022年新高考Ⅰ卷两题为例浅谈“高观点”下的教学[J].湖北:中学数学杂志,2023(3):35-36.



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