华夏高考·题目列传——2007-2022年全国卷数学 数列篇

发布于:2022/9/10 14:39:14   所属分类:高考备战学习资料库

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#华夏考试·题目列传


一、欲得见真,行正即道

书接上文。

有着解析几何篇的诸多铺垫,我们在数列篇就不用交代那么多的背景内容,篇幅相应会短得多,朋友们不会读得那么累。

直接开摆!上头牌!

高中数学的模块分布比较博甚至有点“杂”了。作为大学的铺垫,其融合了诸多领域的前备知识。数列就是“级数”的前备知识,当然也是小学“找规律”的体系理论。

高考当中,上篇的解析几何题目更多地展现出“数形交融”的自然美感与“暴力流”的策马奔腾,而本篇的数列题目则充分展示出数字规律的“艺术”。

数列题目的出场频率在新课标全国卷时期大多为“一道大题12分”或者“两道小题10分(解三角形占据主观题位置)”,偶尔会出现“一大一小17分”的情形。

2007年琼宁卷在理数部分考察了两道选择题。一道落在T4位,是典型的“知三求二”题目。“知三求二”算是‘行话’了,其意指等差/等比数列中有五个基本元素“首项、公差/比、项、通项、求和”,已知三个基本元素即可以通过“递推公式、通项公式、求和公式”求出其余两个元素。此外,由于等差数列、等比数列均在高中阶段确立了“中项”的概念,故“中项公式”经常用作“知三求二”中提高解题效率的利器。

这种题目想要解得又快又准,本质上是要看考生对数字规律的敏感度与理解程度。同一种“秒杀法”,有可能对数字敏感的同学真心达到秒杀的程度,而对数字不够敏感的同学,强制训练一段时间后,其性价比较常规方法还要慢上很多。所以对于高中阶段的学生而言,确定适合自己思考维度的数列解题途径然后熟练技能是至关重要的。

当然,可能对于当下的一部分年轻的成年人来说,掌握“秒杀法”仍旧非常必要。原因有着如下三点:

1、“公务员行测考试”的“数量关系”中,等差/比数列的情境题经常被考察;

2、成年人接受并运用规律的心理障碍较之青少年更小,效率更高;

3、高考的选拔侧重和公考的选拔侧重有所不同。

不过我们是《高考·题目列传》,不是《公考·题目列传》。一味地追寻短期技巧会对孩子的中长期发展造成隐患。

再不过……两个小技巧,可以帮助一些同学突破数列的“基本门槛”:

1、等差数列中,S2n-1=2n-1an,这个公式在全国卷中无数次用,但很多百分以下考生即便是记忆偏门的“秒杀公式”也不去理解这个公式,挺令人费解。

2、如果已知等比数列的前n项和,用“求和公式”难解得参数,不如用“前n项和的定义公式+递推公式”去解。适当的低维,效率会高得多。

放下身段,可能会活得更久更好。

上句话不单适用于考试。

T7则是将数列作为条件,应用进“基本不等式”的考察中,后续还会出现在圆锥曲线主观题等题目中。这里我们单将条件翻译一下:

abc为等差数列”——“bac的等差中项”——“2b=a+c

abc为等比数列”——“bac的等比中项”——“b2=ac

后续这种“绿叶点缀”的题目,便不再继续赘述。

2007年的文数则是公差为0.5的等差数列,仍旧是“知三求二”。

2008年的理数则是罕见的“一小一大17分”的格局。只是其主观题T17只是求等差数列前n项和的最值,实质是“求定义域为正整数的二次函数的最值”。

其步骤如下:

1、看开口、对称轴、对称轴是否在定义域内;

2、对称轴大于等于1,则取n为定义域周围的正整数,代入求最值;

3、对称轴小于1,则取n=1,代入求最值。

T4则是“1248”的经典等比数列。在后期的高考中,这种“经典数列”的使用则是数列常规客观题的一条暗线

对于敏感数字规律的人而言,是一招妙法。

网开一面。

2008年文数、2009年辽宁卷仍旧按此规律渡过。

这里我们提一嘴2009年的琼宁卷理数T16。形如条件中给了“x+y=z2”,由知识的性质可得“x+y=2z”,进而由两个条件联立可得“z2=2z”,不光是数列,这是高考中的基本运算,可不能在这儿犯嘀咕!

时光到了2010年的辽宁卷,其在理数的T16终于考察“递推求通项”的方法,进而在通过基本不等式的计算暗线求出‘通项比项’的最小值;2010年的琼宁卷理数T17同样在问1考察了“递推求通项”,同时其在问2首次考察了“错位相减法”。

从此,数列的求和家族,和“知三求二”在全国卷的数列战场中分庭抗礼,绝杀万千萌萌的考生。

2010年文数,T17,‘二次函数’求最值

2011年辽宁卷理数,T17,错位相减法

2011年辽宁卷文数,T5,等比数列的公式对应。这种在单招中经常出现的题型,虽然偶尔出现,但对于“奇技淫巧”使用过度的同学而言,会产生一点小阻碍。

2011年理数,T17,首次出现“等比数列——对数运算——等差数列”的计算小转换。高中指对数运算对于半数同学而言仍旧是恐惧点。突破这层心理障碍,认真按照公式,理解运算律是必要的操作。

2011年文数的T17则首次出现“数列的公式证明”。当然,作为初次登场,还是非常简单的。其在问2,仍旧对理数T17进行降档考察。

2012年的辽宁卷较为平常,但新课标全国卷的T16,“-1n加成的并项求和法”首次登场。n依次取正整数,列出公式,然后总结规律,并项加和,则是斩杀该类考题的正道。这里的二级结论,适用范围太窄,违背了数学学习的本真。

当然,这道题目也作为典型习题登上了部编版教材的“凌烟阁”,只是问题由“求前60项和”改为“求前8项和”。

转眼又到了2013年,在数列领域是个众多题目显露的年份。辽宁卷在以数列为背景出现了“四命题制”题型(该题型在“集合与不等式篇”中再行阐述),惊鸿一瞥;I卷理数在T7又一次踏上了“经典数列”的道路,从此成为近年来的“流行题目”;T14中“求和与通项的关系”正式出场,这里就需要将求和的定义公式进行相减,然后化简;I卷文数T17中,“裂项相消法”首次出场,其以裂天劈地之力,将部分考生阻隔在门外;II卷理T16‘项乘通项’的最值,其由于本身三次函数的特性,手中一把“导数”大刀,成为了镇守填空边关的大佬;II卷文数T17,进行隔项相加,这也为新高考的数列题目进行了奠基。

与此同时,与全国大纲卷数列的压轴地位不同,新课标全国卷中数列一直是属于“中阶炮灰”的位置。但由于数列本身与函数不等式相契合的特性,故2013I卷理数的压轴位,数列的综合题目首次在新课标全国卷中登场。本题看起来脑后显现出三角形的煌煌虚影,考生与其交战,其手中可能还有着名为“椭圆定义”的杀招。考生单凭代数法是很难解决的。本题的出现也是成功让战场上其他队伍不敢小觑数列。

2014年,II卷文数的T16考察了数列的周期性。总归,数列的解决思路都是先递推几项,然后找到隐含规律。

脑子跟不上,手动是必须的。

当然,简单的构造数列求通项,也在2015年,显露出苗头。

“知三求二”和“求和方法”仍旧占据了数列队伍的阻力。

只是,考生愈发进化,数列家族再派出这些‘虾兵蟹将’,可能都不够考生们一波solo.

二、如露亦电,作如是观

2016年,IIT17数列的代数求和,首次进入考生们的视野。

但这时候,还不受考生们的重视。只作为简单题目,静静地发育。

时光飞逝,2017I卷理数的T12,重新出现了一道压轴题。

计算112124……的前N项和为2的整数幂的N值。

其中提取信息和分组运算的两步是本题的厉害之处。

与此同时,数列也作为数学文化题目的常见背景,在2017年的II卷理数T3有所显示。

III卷又重新出现构造数列,一直延伸到近几年。

越过纯重复考察的2018-2019年,

2020年,新高考全国卷的首秀年,又一次群雄集聚。

当然,2016-2020年的选项出现一些有意思的玄学:

A.12 B.24 C.30 D.32 答案:D 理由:选项数字的左边出现过两次3,选项数字的右边出现过两次2,取重复次数最多的选项,故选D

A.5 B.6 C.7 D.9 答案:B 理由:三项呈等差/比数列,取中项为正确选项

其实也有其他的特征,以上只是最明显的两个。

2013-2015年,这种特征的概率大约为50%,但2016-2020年,其概率接近100%

可能是题型固定后,幕后的大爷们为一些考生留的彩蛋。

PS2020年的新高考不满足。

这种灵活,不是正路。

所以2021年起,新高考与甲乙卷的选项都不留这种玄学的痕迹。

我们回到2020年,I卷文数的T16,(-1n并项求和又一次被考察,当然这次的规律与2012年那次略有不同;II卷理数的T12,代数找规律又一次进入了考生的视野,只是,这一次,便不能被轻易地忽视了;III卷理数T17,问1就构造而言是比前些年都要上个台阶的;只是,其亦可以用数学归纳法来进行解决。从此,数学归纳法在全国卷高考就不再是导数专属了。

从数学文化而言,III卷理T4的“天坛”问题,借用高二教学常见的二级结论“SnS2n-SnS3n-S2n”进行考察,这个性质的应用在最近两年则成为了新的“流行问题”;2020年的新高考卷,T14的“公共项形成新数列”,实质就是之前“隔项加和”的进化体,T18则又一次出现了“列项加和”(字没有打错)。

仍旧是,先递推几项,再找规律。

但即便是100-120分的学生,看到这种较为简单的“列项加和”,仍旧会眼前一懵。

不得不说,套路与技能的教学帮助学生夯实了基本功,但也让部分学生丧失了一些。

我不会说这是制度还是XX的问题。

虽然就大势而言,顺应大势始终是最适宜解。

但个体的发展永远不会完全随大势而动。

有一得必有一失,有一失必有一得。

一阴一阳之谓道。

你的真正心意,才真正决定你的人生定位。

2021年,乙卷理数的T19将前n项和及其延伸定义‘前n项积’的考察上升至一个新台阶;甲卷理数跟风将数列大题改为了“结构不良问题”(除了计算量增大,实际该题的选项对考生的选择没造成什么阻碍);而新I卷进一步考察了等差数列的“列项加和”。

难度又一次趋于固定。

2022年,新II卷的T17继续巩固“列项加和”的出场频率。

变化中追寻着不变,不变中追寻着变化。

一切有为法,如梦幻泡影

如露亦如电,应作如是观

三、试卷难度,进阶几何(附章)

我们的数列篇就先叙述到这里,文章结尾,我们再为大家解惑一个小问题。

现在的高考,尤其是2022年的高考,是否真比以往要难?

如果难,到底会难多少呢?

很多专家,可能都凭借直观感觉,或者做了一遍题目,抑或是研究了一遍题目,最后给出自己的见解。

但见解较多,也不知道该听信哪个?

官方对于“信度效度难度系数”的评定,还是基于当届高考生的实际作答数据确定的。

固然很准,但门外人也看不懂啊!

笔者今天也提出一项难度判定的路线,以供参考。

根据出现的标准答案,将我们近些年的新课标及新高考的试卷进行难度评定。

常规解答的步骤数设为A,阻碍点的数量设为B,易错点的数量设为C

阻碍点与易错点的数量以105分(满分的70%)考生的水准来确定。作为一个成熟的学科老师,判断一套卷子中105分水准考生的思路受阻点以及易错点的位置,应该是出入不大的。

计算的步骤数,其实就是我们普罗大众所认知的“难度”。当然,这和官方所确定的“试卷难度”在概念上会有些出入的。

设定好了,我们开始讨论实验的试卷范围。

2010-2012年新课标全国卷试题模式趋向固定,我们便以2012年开始,每三年进行一次判定(A每隔10为一档,BC两项影响档位判定)。

2012年,理数 A106 B8;文数 A98 B6.

理数比文数的难度高接近1个档。

2015年,I卷理数 A105 B7; 文数 A87 B3II卷理数A99 B4; 文数 A77 B3.

理数比文数的难度高接近2个档。

II卷难度明显低于I卷。

2018年,我们就不看文数了,文数始终是比理数低12个档。

I卷理数 A99 B12 C3II卷理数 A88 B2 C1III卷理数A88 B6.

2018年作为2016-2018年中较为简单的年份,从A项中确实看出来要较之2012年少了一档,但其B档和C档反映出这一阶段的全国卷更为注重灵活程度。因此实际作答,2018年的中高分段也没有明显比前面年份多。而III卷的难度则不像众所周知的那般,低于II卷,反而还难于II卷。

2019-2021年是开始由“数形流”转换到“暴力流”的时代。

2021年 乙卷理数 A103 B9 C2; 甲卷理数 A102 B7; 新I A116 B10; 新II A108 B7 C2.

难度也就是重新贴近2012年的程度,但阻碍点却开始增加。

新高考卷由于多选题的加成,导致其解题步骤有所增加,导致考生实际面临的难度要高于新课标半个档。

2022年,传说中的高考诡异年份,我们来观赏一下乙卷理数,新I和新II卷的难度。

乙卷理数 A111 B8; 新II A119 B12 C1; 新IA122 B17 C3.

乙卷难度照比去年升了接近一档

II卷照比去年升了超过一档

I卷照比去年升了超过两档

全系列照比往年的理数卷,升了接近两档

看到这个结果,实际上我有点惊讶。因为我原来通过‘直接经验’所获得的观点是没难多少。至于难度升阶超过一档的情形,如果笔者没有照着参考答案去挨个核对,可能也想不到实际难度相差竟如此之多。

这里也欢迎感兴趣的同行和同学去核对一二。数据受到主观的影响肯定会有所出入,但应出入不会太大。

这或许是后续的趋势,但也有可能被疫情所影响。

不过,考生们需要进一步的进化了。

知其然——知其所以然——行其所以然


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