解题研究:一道高考数学题的16种证法

发布于2022/5/13 21:59:38   分类:高考备战学习资料库

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一道高考题的16种证法

北师大贵阳附中 李鸿昌

高考真题是高考命题人智慧的结晶,具有典型性和代表性.在高三一轮复习中,一线教师很有必要去研究高考真题.笔者在复习《选修4—5:不等式选讲》内容的过程中,遇到了一道经典而有趣的不等式证明题,经历课堂上笔者和学生思维的碰撞,得到了解决问题的多种角度,现整理成文,抛砖引玉,希望对同仁有所启发.

1.真题再现

2017年全国卷Ⅱ第23题如下:

该题题干简短精炼,内涵却很丰富.通过对该题的探究,不仅可以掌握不等式证明的方法和技巧,而且还可以领略其蕴含的数学思想方法.

2.解法探究

先探究第(1)问.

点评:第(1)问属于简单不等式的证明,常用的证明方法有:作差法、基本不等式和柯西不等式.要学会利用已知条件和对预证不等式进行适当的等价变形.

再探究第(2)问.

角度1:“不等式”.利用基本不等式、柯西不等式及常见不等式.

角度2:构造“一元二次方程”,利用韦达定理和判别.

角度3:“常用逻辑用语”.反证法.

角度4:“函数”.利用函数的凹凸性、函数的单调性以及函数图象等.

角度5:“数列”.

角度6:“三角函数”.作三角代换.

角度7:“平面向量”.

角度8:“二项式定理”.

角度9:“解析几何”.


点评:通过几何画板作出直线与曲线的图象,利用数学结合思想可知,

从而使学生的数学思维从直观想象到逻辑推理,培养了学生直观想象和逻辑推理的核心素养.

角度10:“幂平均不等式”.

点评:由此可知,本题的背景是“幂平均不等式”

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