收录于话题

#十年高考真题

考点一　函数的概念及表示

1.函数的定义

一般地,设A、B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.

2.函数的定义域、值域

在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.

4.函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法.

考点二　分段函数

若函数在某定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

考点三　函数的单调性与最值

1.函数的单调性

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.

1)增函数:当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;

2)减函数:当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

? ?

2.函数的最值

考点四　函数的奇偶性

【注意】 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个,即f(x)=0,x∈D.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.

【知识拓展】 1)对于奇函数:

①如果定义域中包含0,那么f(0)=0;

②若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0;

③在关于原点对称的区间上单调性相同.

2)对于偶函数:

①f(x)=f(|x|);

②在关于原点对称的区间上单调性相反.

考点五　函数的周期性

定义:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

【注意】 并不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.

考法一　函数定义域的求法

1. 求给定解析式的函数的定义域

以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解.对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.

2.求某些抽象函数的定义域

1)若函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出;

2)若函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.

考法二　函数解析式的求法

1.待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可.

2.换元法:已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,便可求解.

3.配凑法:已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.

4.解方程组法:已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f?等,必须根据已知等式构造其他等式组成方程组,通过解

方程组求出f(x).

5.赋值法: f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).

考法三　分段函数问题的解题策略

1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式.求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.

2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小.

3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解.

4.求参数.“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程.

考法四　函数单调性的判断及应用

1.判断函数单调性或求单调区间的方法

1)定义法:一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论.

2)图象法:若f(x)是以图象形式给出,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.

3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.

4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断.

5)复合法:对于复合函数,先将函数f(g(x))分解成f(t)和t=g(x),然后讨论(判断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

2.函数单调性的应用

利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小;求解或证明不等式;求参数的取值范围.

考法五　函数奇偶性的判断及应用

1.函数奇偶性的判断方法

1)定义法

2)图象法

3)性质法

若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

2.函数奇偶性的应用主要有两个方向:

1)求函数值或函数解析式:将所求值或解析式对应的自变量利用奇偶性转化到已知解析式的区间,构造方程(组).

2)求参数:由定义或其等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式,再利用系数相等构造方程(组).

考法六　函数周期性的判断及应用

关于函数周期性的几个常用结论

1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是T=|a-b|.

2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|.

3)若f(x+a)=?或f(x+a)=-?,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是T=2|a|.

4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2|a|是它的一个周期.

5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4|a|是它的一个周期.

创新　“新定义型”函数

解决“新定义型”函数问题的关键是理解题目的信息,可采用下面的技巧:

1)利用“举例子”的方式理解新定义、新规则;

2)转化“新定义”,建立与所学知识的联系,寻找本质特征与规律;

3)如果“新概念”与教材的某个概念相似,需要概念成立时条件之间的差异;

4)解决问题时要严格应用新定义、新规则.

十年高考真题