高考数学序曲十八：解答题标准作答--数列（1）

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在前面几篇推文中，全全学长主要介绍了在高考数学选择题中常出现的几类题型和考点，并且分别大致介绍了其相对应的基本概念。从本篇推文开始，全全学长会介绍在解答题前三题中常出现的题型，首先介绍的是数列部分。和选择填空部分数列类型相同的是，在解答题中学弟学妹们也要熟练记忆等差数列和等比数列的前n项和公式、通项公式。唯一不同的地方在于，解答题中的数列在第二小问常会考察一些对二级结论的应用及数列的证明题（常用到数学归纳法证明），例如常见的裂项相消的方法等，就需要学弟学妹们积累常见的二级结论的方法。在介绍解答题部分的数列，全全学长将会把第一问和第二问常见类型分开进行归纳并且分享。

在数列的解答题中，第一问考察的方向可以分为以下两大类：1、求通向公式；2、证明指定关系（如证明是否为等差？），可以看出由于数列本身常作为解答题前三答题的缘由，在第一问上通常不会刁难考生。

第一类：求通项公式。求通项公式这大类包括了以下常出现的三个小类，分别为：a、单纯求通项公式；b、求题目构造新数列的通项公式；c、求公比、公差、首项，第n项等。例如这道2021年全国新高考二卷数学的第17题。

题目已知{an}为公差不为0的等差数列，且满足a3=S5，a2a4=S4，所以我们可以直接设该数列的首项为a1，公差为d。根据等差数列前n项和公式和当差数列第n项（由等差数列通项公式得）可以得到一个一元二次方程组，再根据a1和d之间的关系，可以解出最终d=2，a1=-4，再带入通项公式中可得到最终{an}的通项公式，详细解法见全全学长手写的下图，注意仔细看全全学长的红色批注部分！

再例如这道2020年山东省新高考一卷的数学第18题。

题目与上一题类似，只不过这题的{an}为等比数列。根据全全学长在上道题中红色批注所示，对于等比数列中未知的公比和首项，我们一律设为q和a1。根据a2+a4=20，a3=8也可以得到一组关于a1和q的方程组（等比数列方程组通常阶数较高，不过不用担心都可以约去）。根据这个方程组，可以解得q=2或1/2，因为题目要求公比>1，所以只取q=2，得到此时a1=2，再分别带入标准形式中，很轻松可以解得等比数列{an}的通项公式。详细解法见全全学长手写的下图。

第二类：证明指定关系。这类题型出现常伴随着两个类型不同的数列，可能数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，从而要求证明a1与b1之间的关系。例如这道2022年全国新高考二卷的数学第17题。

题目已知{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列，且等比数列{bn}的公比已知为2，还给出了a2-b2=a3-b3=b4-a4这一组等式，需要我们证明a1=b1这一组关系式。分别将含有未知公差，首项带入等差等比表达式中，最终可以证明a1=b1=d/2。详细解法见全全学长手写的下图。

在本篇推文中，全全学长重点介绍了数列解答题中第一问常考的两种类型，在看全全学长作答过程时，一定注意全全学长的答题逻辑以及红色马克笔画出的部分和红色字体。作为解答题常见前三题之一的数列题并不难，所以这类题型也是全全学长要求学弟学妹们必须掌握的类型，而且是必须要拿满分的类型，希望学弟学妹们在课后能够多花点时间琢磨琢磨全全学长的作答过程，并和自己的作答过成相比较，看看哪些部分还需要改进!